Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear
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Mas ψ ′ (x, t) = φ (x, t) e ψ ′′ (x, t) = φ ′ (x, t) , então<br />
ψ ′′ (x, t) − φ 1 − ∆ (ψ (x, t) + χ (x)) = 0.<br />
Pela definição de χ, a igual<strong>da</strong>de anterior implica<br />
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ψ ′′ − ∆ψ = 0<br />
ψ = 0<br />
em Q<br />
sobre Σ<br />
ψ (0) = −χ, ψ ′ (0) = φ 0 em Ω.<br />
(B.19)<br />
Sendo χ ∈ H 1 0 (Ω) e φ 0 ∈ L 2 (Ω), temos, pelo Teorema (2.4) , que (B.19) possui uma<br />
única solução fraca.<br />
Supondo a desigual<strong>da</strong>de (B.17) ver<strong>da</strong>deira, segue que (B.19),<br />
χ 2 + 0<br />
φ 2 T <br />
≤ C<br />
0<br />
Ω<br />
|φ| 2 dxdt. (B.20)<br />
Definamos em H −1 (Ω) um produto interno. Sabemos que ∆ é um isomorfismo entre<br />
H 1 0 (Ω) e H −1 (Ω) . Seja G = ∆ −1 , então para todo par u, v ∈ H −1 (Ω), definamos<br />
(u, v) H−1 (Ω) = 〈u, Gv〉 H−1 (Ω)×H1 0 (Ω) = ((Gu, Gv)) H1 0 (Ω)×H1 0 (Ω) ,<br />
o qual é um produto interno em H −1 (Ω) .<br />
A norma induzi<strong>da</strong> é<br />
Dessa forma,<br />
v 2<br />
H−1 (Ω) = ((Gv, Gv)) .<br />
<br />
φ 1 2<br />
H −1 (Ω) = Gφ 1 , Gφ 1 = ((χ, χ)) = χ 2 .<br />
Assim temos modificado (B.20), obtendo (B.18) . <br />
Passemos agora à prova do resultado principal.<br />
Prova do Teorema B.2: Segue do Lema B.1 que, para provar o Teorema B.2, é suficiente<br />
provar a desigual<strong>da</strong>de (B.17) . Dividiremos a prova em três passos.<br />
• Primeiro passo.<br />
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