Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Mas ψ ′ (x, t) = φ (x, t) e ψ ′′ (x, t) = φ ′ (x, t) , então
ψ ′′ (x, t) − φ 1 − ∆ (ψ (x, t) + χ (x)) = 0.
Pela definição de χ, a igualdade anterior implica
ψ ′′ − ∆ψ = 0
ψ = 0
em Q
sobre Σ
ψ (0) = −χ, ψ ′ (0) = φ 0 em Ω.
(B.19)
Sendo χ ∈ H 1 0 (Ω) e φ 0 ∈ L 2 (Ω), temos, pelo Teorema (2.4) , que (B.19) possui uma
única solução fraca.
Supondo a desigualdade (B.17) verdadeira, segue que (B.19),
χ 2 + 0
φ 2 T
≤ C
0
Ω
|φ| 2 dxdt. (B.20)
Definamos em H −1 (Ω) um produto interno. Sabemos que ∆ é um isomorfismo entre
H 1 0 (Ω) e H −1 (Ω) . Seja G = ∆ −1 , então para todo par u, v ∈ H −1 (Ω), definamos
(u, v) H−1 (Ω) = 〈u, Gv〉 H−1 (Ω)×H1 0 (Ω) = ((Gu, Gv)) H1 0 (Ω)×H1 0 (Ω) ,
o qual é um produto interno em H −1 (Ω) .
A norma induzida é
Dessa forma,
v 2
H−1 (Ω) = ((Gv, Gv)) .
φ 1 2
H −1 (Ω) = Gφ 1 , Gφ 1 = ((χ, χ)) = χ 2 .
Assim temos modificado (B.20), obtendo (B.18) .
Passemos agora à prova do resultado principal.
Prova do Teorema B.2: Segue do Lema B.1 que, para provar o Teorema B.2, é suficiente
provar a desigualdade (B.17) . Dividiremos a prova em três passos.
• Primeiro passo.
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