Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

B.2 Observabilidade para o Controle Exato Interno
Seja x 0 um ponto de R n e consideremos a partição da fronteira de Ω, Γ = Γ (x 0 )∪Γ∗ (x 0 ) ,
conforme na Seção B.1.
Dizemos que ω ⊂ Ω é uma vizinhança, em Ω, de Γ (x 0 ), se existe alguma vizihança
ω0 ⊂ R n de Γ (x 0 ) tal que
ω = Ω ∩ ω0. (B.15)
Enunciaremos agora o principal resultado desta seção, que nos fornece a desigualdade
inversa (3.47) .
Teorema B.2 Seja x 0 ∈ R n e ω ⊂ Ω uma vizinhança de Γ (x 0 ). Se T > 2R (x 0 ), então
existe uma constante C > 0 tal que
para toda solução forte de (3.32) .
C φ 0 , φ 1 2
L 2 (Ω)×H −1 (Ω) ≤
T
Antes de provarmos o teorema, consideremos o seguinte lema:
0
ω
|φ| 2 dxdt, (B.16)
Lema B.1 Se existe uma constante C > 0 tal que cumpra-se a desigualdade
0
φ 2 + 1
φ 2 T
≤ C
0
|φ
ω
′ | 2 dxdt, (B.17)
para toda solução φ de (3.32) , com φ0 ∈ H1 0 (Ω) e φ1 ∈ L2 (Ω), então temos a desigualdade
0
φ 2 + 1
φ 2 H−1 T
≤ C (Ω) |φ| 2 dxdt. (B.18)
Prova: Dado {φ 0 , φ 1 } ∈ L 2 (Ω) × H −1 (Ω), seja χ ∈ H 1 0 (Ω) tal que −∆χ = φ 1 em Ω.
Consideremos
t
ψ (x, t) = φ (x, s) ds − χ (x) ,
0
onde φ é a solução ultra fraca de (3.32) com dados iniciais φ 0 e φ 1 . Integrando (3.32) 1 de 0
a T , obtemos
φ ′ (t) − φ ′ (0) − ∆
0
ω
t
φ (x, s) ds = 0.
98
0