Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Assim, substituindo (B.8) − (B.10) em (B.7) obtemos
≤
Ω
n − 1
m · ∇φ +
2 φ
(m · ∇φ) 2 dx,
Ω
pois (n−1)2
4
Sendo
n(n−1)
− 2
Ω
≤
2
= −(n2 +1)
4
(m · ∇φ) 2
dx =
Ω
segue de (B.11) que
dx =
Ω
Ω
≤ 0.
mk
(m · ∇φ) 2 dx +
∂φ
∂xk
m (x) 2
R n |∇φ| 2 dx = R (x 0 ) 2
Ω
2
dx ≤
Ω
Ω
(n − 1) 2
4
m 2 k
|∇φ| 2 dx,
−
n (n − 1)
φ
2 Ω
2dx 1 2 ∂φ
∂xk
2
1
2
2
dx
(B.11)
n − 1
m · ∇φ +
2 φ
2 dx ≤ R
x
0
|∇φ|
Ω
2 dx. (B.12)
Substituindo (B.12) em (B.6) e fazendo µ = R (x0 ), obtemos a desigualdade
φ ′
n − 1
m · ∇φ +
2 φ
dx ≤ R x 0 E (0) , (B.13)
Ω
à qual substituindo em (B.5) nos dá
n − 1
X +
2 Y
=
φ
′ n − 1
(t) , m · ∇φ +
2 φ
T
0
≤ 2
φ ′ n − 1
(t) , m · ∇φ +
2 φ
L
≤ 2R (x
∞ (0,T )
0 ) E (0) = T (x0 ) E (0) .
De acordo com (B.14) deduzimos de (B.4) que
como queríamos mostrar.
−T x 0 E (0) + T E (0) ≤ R (x0
)
2 Σ(x0 )
97
2 ∂φ
dΓdt,
∂ν
(B.14)