Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear
Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear
Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Assim, substituindo (B.8) − (B.10) em (B.7) obtemos<br />
<br />
≤<br />
Ω<br />
<br />
n − 1<br />
m · ∇φ +<br />
2 φ<br />
<br />
(m · ∇φ) 2 dx,<br />
Ω<br />
pois (n−1)2<br />
4<br />
Sendo<br />
<br />
n(n−1)<br />
− 2<br />
Ω<br />
<br />
≤<br />
2<br />
= −(n2 +1)<br />
4<br />
(m · ∇φ) 2 <br />
dx =<br />
Ω<br />
segue de (B.11) que<br />
<br />
dx =<br />
Ω<br />
Ω<br />
≤ 0.<br />
<br />
mk<br />
(m · ∇φ) 2 dx +<br />
∂φ<br />
∂xk<br />
m (x) 2<br />
R n |∇φ| 2 dx = R (x 0 ) 2<br />
<br />
Ω<br />
2 <br />
dx ≤<br />
<br />
Ω<br />
Ω<br />
<br />
(n − 1) 2<br />
4<br />
m 2 k<br />
|∇φ| 2 dx,<br />
−<br />
<br />
n (n − 1)<br />
φ<br />
2 Ω<br />
2dx 1 2 ∂φ<br />
∂xk<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
dx<br />
(B.11)<br />
<br />
n − 1<br />
m · ∇φ +<br />
2 φ<br />
2 dx ≤ R <br />
x<br />
0<br />
|∇φ|<br />
Ω<br />
2 dx. (B.12)<br />
Substituindo (B.12) em (B.6) e fazendo µ = R (x0 ), obtemos a desigual<strong>da</strong>de<br />
<br />
φ ′<br />
<br />
n − 1<br />
m · ∇φ +<br />
2 φ<br />
<br />
dx ≤ R x 0 E (0) , (B.13)<br />
Ω<br />
à qual substituindo em (B.5) nos dá<br />
<br />
<br />
<br />
n − 1<br />
X +<br />
2 Y<br />
<br />
<br />
<br />
=<br />
<br />
<br />
<br />
φ<br />
<br />
′ n − 1<br />
(t) , m · ∇φ +<br />
2 φ<br />
<br />
T <br />
<br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
≤ 2 <br />
φ ′ n − 1<br />
(t) , m · ∇φ +<br />
2 φ<br />
<br />
L<br />
≤ 2R (x<br />
∞ (0,T )<br />
0 ) E (0) = T (x0 ) E (0) .<br />
De acordo com (B.14) deduzimos de (B.4) que<br />
como queríamos mostrar. <br />
−T x 0 E (0) + T E (0) ≤ R (x0 <br />
)<br />
2 Σ(x0 )<br />
97<br />
2 ∂φ<br />
dΓdt,<br />
∂ν<br />
(B.14)