Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

onde E (t) é a energia definida em (2.73). Fazendo Y =
Q
|φ ′ | 2 − |∇φ| 2 dxdt, e observando
que a energia é conservativa, isto é, E (t) = E (0) para todo t ∈ [0, T ], temos de (B.3) que
X +
n − 1
2 Y + T E (0) ≤ R (x0
)
2 Σ(x0 )
2 ∂φ
dΓdt. (B.4)
∂ν
Notemos que ao multiplicarmos ambos lados da equação de (3.6) 1 por φ e integrarmos
em Q, obtemos
Dessa forma,
− |φ|
Q
2 dxdt + (φ ′ (t) , φ (t))| T
0 +
|▽φ|
Q
2 dxdt = 0.
X +
n − 1
Y =
2
φ ′
n − 1
m · ∇φ +
2 φ
dx
Ω
T
0
. (B.5)
Iremos agora obter uma estimativa para a integral em (B.5) em termos da energia.
Observemos que,
φ ′
n − 1
m · ∇φ +
2 φ
dx ≤ µ
φ
2 Ω
′2 dx + 1
n − 1
m · ∇φ +
2µ Ω
2 φ
2 dx, (B.6)
Ω
onde µ > 0 é um número real a ser escolhido posteriormente.
Analisemos a última integral do lado direito de (B.6) .
Temos ainda que
n − 1
m · ∇φ +
Ω
2 φ
2 dx =
(n − 1)
+
2
φ
4
2
dx + (n − 1)
Ω
Ω
(m · ∇φ) φdx =
mk
Ω
∂φ
∂xk
Ω
Ω
(m · ∇φ) 2 dx
(m · ∇φ) φdx.
φdx = 1
2 Ω
mk
(B.7)
∂φ2 dx (B.8)
∂xk
e, como φ = 0 sobre Σ, pelo Lema de Gauss temos
∂
mkφ
∂xk
2
dx = vkmkφ 2 dΓ = 0. (B.9)
Logo
1
2 Ω
Ω
mk
∂φ 2
∂xk
dx = − 1
2 Ω
Γ
∂mk
∂xk
96
φ 2 dx = − n
φ
2 Ω
2 dx. (B.10)