Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

• Partição da fronteira lateral Σ de Q −
Σ (x 0 ) = Γ (x 0 ) × (0, T ) ,
Σ∗ (x 0 ) = Γ∗ (x 0 ) × (0, T ) .
Agora consideremos o resultado que nos garante a desigualdade inversa.
Teorema B.1 Consideremos T (x0 ) = 2R (x0 ) . Se T > T (x0 ) , então
0
φ 2 + 1
φ 2 ≤ R (x0 )
T − T (x0
)
2 ∂φ
dΓdt,
∂ν
(B.1)
para toda solução forte φ de (3.6) .
Prova: Pela identidade (2.88) temos,
2 1 ∂φ
qkνk dΓdt = X +
2 Σ ∂ν
1
∂qk
2 Q ∂xk
T
onde X =
.
Σ(x 0 )
|φ ′ | 2 − |∇φ| 2
dxdt +
φ ′ n(t), qk ∂φ(t)
∂xk 0
Escolhendo qk (x) = xk − x0 k = mk (x), 1 ≤ k ≤ n, obtemos
mkνk
Σ
∂qk
∂xk
= n e
o que substituindo em (B.2) nos dá
2 1 ∂φ
dΓdt = X +
2 ∂ν
n
2
Em Σ (x 0 ) temos 0 ≤ mkνk ≤
mkνk
Σ
Assim
X + n
2
Notemos que
Q
n
k=1 m2 k
2
∂φ
dΓdt ≤
∂ν
Σ(x0 mkνk
)
|φ ′ | 2 − |∇φ| 2
dxdt +
Q
∂qk ∂φ ∂φ
= |∇φ|
∂xj ∂xk ∂xj
2 ,
Q
Q
∂qk ∂φ ∂φ
dxdt. (B.2)
∂xj ∂xk ∂xj
|φ ′ | 2 − |∇φ| 2
dxdt + |∇φ|
Q
2 dxdt.
1
2 n
k=1 ν2 k
1
2
2 ∂φ
dΓdt ≤ R
∂ν
x
0
Σ(x0 )
|∇φ| 2 dxdt ≤ R (x0
)
2 Σ(x0 )
X + n
′ 2 2
|φ | − |∇φ|
2 Q
dxdt +
Q
= X +
n − 1
2
Q
= m (x) R n = R (x 0 ) . Portanto
|∇φ| 2 dxdt
′ 2 2
|φ | − |∇φ| T
dxdt + E (t) dt,
95
0
2 ∂φ
dΓdt.
∂ν
2 ∂φ
dΓdt. (B.3)
∂ν