Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Apêndice B
Desigualdades de Observabilidade
O nosso objetivo neste apêndice é demostrar as desigualdades inversas (3.21) e (3.47)
para os problemas de controlabilidade exata na fronteira e interna, estudados nas subseções
3.1.1 e 3.1.2, respectivamente. Estas desigualdades permitem .concluir a caracterização dos
espaços F e F ′ , como espaços de Sobolev, no método HUM.
B.1 Observabilidade para o Controle Exato na
Fronteira
Antes de enunciarmos o teorema que nos garante a desigualdade inversa ( ou de
observabilidade) (3.21), consideremos a seguinte terminologia:
• x 0 algum ponto de R n , m (x) o vetor x − x 0 com componentes mk (x) = xk − x 0 k ,
1 ≤ k ≤ n.
• R (x0 ) = sup x − x
x∈Ω
0 = m (x)L∞ (Ω) .
Γ (x
• Partição da fronteira Γ de Ω −
0 ) = {x ∈ Γ; m (x) · v (x) > 0} ,
Γ∗ (x 0 ) = {x ∈ Γ; m (x) · v (x) ≤ 0} = Γ − Γ (x 0 ) .
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