Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

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Assim F2 (X, t) R 2n ≤ max 1≤j≤m |(f (t) , wj)| = mB (t). Logo F1 + F2 R 2n ≤ 2CB + mB (t) . Portanto, pelo Corolário A.1, o sistema (A.5) possui solução em [0, tm] , com tm < T . 93
Apêndice B Desigualdades de Observabilidade O nosso objetivo neste apêndice é demostrar as desigualdades inversas (3.21) e (3.47) para os problemas de controlabilidade exata na fronteira e interna, estudados nas subseções 3.1.1 e 3.1.2, respectivamente. Estas desigualdades permitem .concluir a caracterização dos espaços F e F ′ , como espaços de Sobolev, no método HUM. B.1 Observabilidade para o Controle Exato na Fronteira Antes de enunciarmos o teorema que nos garante a desigualdade inversa ( ou de observabilidade) (3.21), consideremos a seguinte terminologia: • x 0 algum ponto de R n , m (x) o vetor x − x 0 com componentes mk (x) = xk − x 0 k , 1 ≤ k ≤ n. • R (x0 ) = sup x − x x∈Ω 0 = m (x)L∞ (Ω) . Γ (x • Partição da fronteira Γ de Ω − 0 ) = {x ∈ Γ; m (x) · v (x) > 0} , Γ∗ (x 0 ) = {x ∈ Γ; m (x) · v (x) ≤ 0} = Γ − Γ (x 0 ) . 94
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Controlabilidade Exata e Aproximada
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Ficha Catalográfica MURILLO, Kelly
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À ”Turma de Compatriotas”: Ale
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Resumo Estudamos os problemas de co
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Sumário Introdução 1 1 Prelimina
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Notações e Simbologias • (·,
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mistérios do controle de sistemas.
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Consideremos o sistema ⎧ ⎪⎨
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Capítulo 1 Preliminares trabalho.
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Exemplo 1.2 Seja u ∈ L 1 loc (Ω
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onde (1/p) + (1/q) = 1. Quando p =
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Lema 1.2 (Rellich-Kondrachov) Seja
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Prova: Ver [6]. Teorema 1.7 (Banac
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Capítulo 2 Soluções da Equação
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onde os gjm(t) são soluções do s
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onde C > 0 independe de m e t. Pass
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Desde que φ ∈ L ∞ (0, T ; H 1
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Teorema 2.2 (Energia) Se φ é solu
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Prova: A solução forte φ é o li
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Como {wi} i é uma base ortonormal
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Logo pelos mesmos argumentos usados
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Logo pelas covergências dadas em (
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Assim w ∈ L ∞ (0, T, H 1 0 (Ω
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e, pelo Lema de Gronwall (Lema 1.3)
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Seja (hk)1≤k≤n o campo vetorial
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Substituindo (2.91) em (2.90) segue
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