Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Agora, considerando
X(t) =
⎡
⎣ y(t)
y ′ (t)
segue de (A.4) que
X ′ ⎡
(t) = ⎣ y′ (t)
y ′′ ⎤ ⎡
y
⎦ = ⎣
(t)
′ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡
(t)
−λy + M
0
⎦ = ⎣
−λ
I
⎦ ⎣
0
y(t)
y ′ ⎤ ⎡
⎦ + ⎣
(t)
0
⎤
M
⎦ ,
onde I é a matriz identidade m × m, 0 é a matriz nula m × m e 0 é a matriz nula m × 1.
Seja
⎡ ⎤
⎡
0
F1 (X, t) = ⎣
−λ
I
⎦ X
0
e F2 (X, t) = ⎣ 0
⎤
M
⎦ .
Então encontrar solução para o sistema (A.4) é equivalente a resolver o seguinte sistema:
⎧
⎪⎨
X
⎪⎩
′ = F1 (X, t) + F2 (X, t) ,
⎡
X (0) = ⎣ y0
⎤
(A.5)
⎦ = X0.
y1
Mostremos que o sistema (A.5) está nas condições de Carathéodory. De fato, seja
G = U × [0, T ], onde U = {x ∈ R 2m ; x ≤ b} , b > 0. Então
• Fixando X, temos que F1 (X, t) não depende de t e F2 (X, t) é mensuravél, pois
f ∈ L 1 (0, T ; H 1 0 (Ω)) . Logo F1 (X, t) + F2 (X, t) é mensuravél em t para X fixo.
• Fixando t, F2 (X, t) não depende de X, então é constante e, portanto, contínua e
F1 (X, t) é linear. Então F1 (X, t) + F2 (X, t) é contínua.
• Como X varia em U, então todas as entradas de F1 (X, t) são limitadas por uma
mesma constante. As entradas de F2 (X, t) são funções integráveis em [0, T ] , pois as
m primeras entradas são nulas e as m últimas entradas são, em valor absoluto, iguais
a |(f(t), wj)| . Além disso,
|(f(t), wj)| = f(s)wj
ds ≤ |f(s), wj| ds
Ω
Ω
≤ |f(s)| |wj| ds ≤ 1
|f(s)|
2
2 ds + 1
|wj|
2
2 ds < ∞.
Ω
Ω
92
⎤
⎦ ,
Ω