Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

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Suponhamos que em qualquer intervalo I onde ϕ (t) está definida tem-se |ϕ (t)| ≤ M, ∀ t ∈ I, M independente de I e M < b. Então ϕ pode ser prolongada até [0, T ] . As demonstrações dos teoremas e dos corolários deste Apêndice podem ser encontradas em [7] e [26]. Voltemos agora ao nosso problema. Fazendo v = wj e substituindo φm (t) em (2.7) 1 temos m i=1 g ′′ im(t)wi, wj Como m obtemos i=1 + gim(t)wi, wj m i=1 gim(t)wi, wj = = (f(t), wj) . m λi (gim(t)wi, wj) , i=1 g ′′ jm(t) + λjgjm(t) = (f(t), wj) , j = 1, ..., m, o qual é um sistema de m equações diferenciaveis ordinárias de segundo ordem com coeficientes constantes λj. Sendo φ 0 m = m i=1 (φ0 m, wi) wj e φ 1 m = m i=1 (φ1 m, wi) wj, temos o problema de valor inicial: m×1 ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ g ′′ jm(t) + λjgjm(t) = (f(t), wj) , gjm(0) = (φ 0 , wj) , g ′ jm(0) = (φ 1 , wj) . Considerando as matrizes ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ y(t) = ⎢ ⎣ g1(t) g2(t) . ⎥ ⎦ , λ1 ⎢ 0 λ = ⎢ . ⎣ 0 λ2 . · · · · · · .. . 0 0 . ⎥ ⎦ gm(t) 0 0 · · · λm o sistema (A.3) se transforma em ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ y ′′ (t) = −λy + M, y(0) = y0, y ′ (0) = y 1 . 91 m×m ⎡ ⎤ e ⎢ M = ⎢ ⎣ (f(t), w1) (f(t), w2) . (f(t), wm) ⎥ ⎦ m×1 (A.3) , (A.4)
Agora, considerando X(t) = ⎡ ⎣ y(t) y ′ (t) segue de (A.4) que X ′ ⎡ (t) = ⎣ y′ (t) y ′′ ⎤ ⎡ y ⎦ = ⎣ (t) ′ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ (t) −λy + M 0 ⎦ = ⎣ −λ I ⎦ ⎣ 0 y(t) y ′ ⎤ ⎡ ⎦ + ⎣ (t) 0 ⎤ M ⎦ , onde I é a matriz identidade m × m, 0 é a matriz nula m × m e 0 é a matriz nula m × 1. Seja ⎡ ⎤ ⎡ 0 F1 (X, t) = ⎣ −λ I ⎦ X 0 e F2 (X, t) = ⎣ 0 ⎤ M ⎦ . Então encontrar solução para o sistema (A.4) é equivalente a resolver o seguinte sistema: ⎧ ⎪⎨ X ⎪⎩ ′ = F1 (X, t) + F2 (X, t) , ⎡ X (0) = ⎣ y0 ⎤ (A.5) ⎦ = X0. y1 Mostremos que o sistema (A.5) está nas condições de Carathéodory. De fato, seja G = U × [0, T ], onde U = {x ∈ R 2m ; x ≤ b} , b > 0. Então • Fixando X, temos que F1 (X, t) não depende de t e F2 (X, t) é mensuravél, pois f ∈ L 1 (0, T ; H 1 0 (Ω)) . Logo F1 (X, t) + F2 (X, t) é mensuravél em t para X fixo. • Fixando t, F2 (X, t) não depende de X, então é constante e, portanto, contínua e F1 (X, t) é linear. Então F1 (X, t) + F2 (X, t) é contínua. • Como X varia em U, então todas as entradas de F1 (X, t) são limitadas por uma mesma constante. As entradas de F2 (X, t) são funções integráveis em [0, T ] , pois as m primeras entradas são nulas e as m últimas entradas são, em valor absoluto, iguais a |(f(t), wj)| . Além disso, |(f(t), wj)| = f(s)wj ds ≤ |f(s), wj| ds Ω Ω ≤ |f(s)| |wj| ds ≤ 1 |f(s)| 2 2 ds + 1 |wj| 2 2 ds < ∞. Ω Ω 92 ⎤ ⎦ , Ω
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