Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

(iii) para cada compacto K de G existe uma função real integrável mK (t) tal que
Consideremos o retângulo
|f (x, t)| ≤ mK (t) , ∀ (x, t) ∈ K.
R = (x, t) ∈ R n+1 ; |x − x0| ≤ b, |t − t0| ≤ a, b > 0, a > 0 .
Teorema A.1 (Carathéodory) Seja f : R → R n nas Condições de Carathéodory sobre
R, então existe uma solução x (t) de (A.2) sobre algum intervalo |t − t0| ≤ α, α > 0.
Corolário A.1 Sejam G ⊂ R n+1 um aberto e f satisfazendo as Condições de Carathéodory
sobre G, então o problema (A.2) tem solução para qualquer (x0, t0) ∈ G.
Seja ϕ (t) uma solução de (A.1) sobre I e I ⊂ I1. Diz-se que ϕ (t) tem um
prolongamento até I1, se existe ϕ1 (t) solução de (A.1) sobre I1 e ϕ1 (t) = ϕ (t) , ∀ t ∈ I.
Teorema A.2 (Prolongamento) Sejam G ⊂ R n+1 aberto e limitado e f : G → R n
satisfazendo as duas primeiras Condições de Carathéodory sobre G e existe uma uma função
integrável m (t) tal que
|f (x, t)| ≤ m (t) , ∀ (x, t) ∈ G. Seja ϕ uma solução da equação (A.1) sobre o intervalo
]a, b[ , então
(i) existem ϕ (a+) , ϕ (b−) ,
(ii) se (ϕ (b−) , b) ∈ G então ϕ pode ser prolongado até ]a, b + δ[ para algum δ > 0.
Resultado análogo para a,
(iii) ϕ (t) pode ser prolongada até um intervalo (γ, ω) tal que (ϕ (γ+) , γ) , (ϕ (ω−) , ω) ∈ ∂G
(∂G é a fronteira de G).
Corolário A.2 Sejam G = U × [0, T ] , T > 0, U = {x ∈ R n ; |x| ≤ b} , b > 0 e f nas
condições do Teorema (A.2). Seja ϕ (t) uma solução de
x
′ = f (x, t) ,
x (t0) = x0, |x0| ≤ b.
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