Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Apêndice A
Existência e Prolongamento de
Soluções Aproximadas
O nosso objetivo neste apêndice é justificar a existência de soluções do sistema (2.7)
Sejam G ⊂ R n+1 um aberto e f : G → R n uma função não necessariamente contínua.
Dizemos que uma função absolutamente contínua x (t) definida em algum intervalo da reta
I tal que (x (t) , t) ∈ G, ∀ t ∈ I, é uma solução para o problema
x ′ = f (x, t) (A.1)
se x (t) satisfaz (A.1) q.s. em (x, t) . Seja (x0, t0) ∈ G. Associado a (A.1) e a (x0, t0) tem o
problema de valor inicial
se
x ′ = f (x, t) ,
x (t0) = x0.
(A.2)
Dizemos que uma função f : G → R n está nas Condições de Carathéodory sobre G
(i) f (x, t) é mensurável em t para cada x fixado,
(ii) f (x, t) é contínua em x para cada t fixado,
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