Banco_de_Dissetacoes_files/Roberto Ribeiro Santos Junio.pdf

Procedendo como em (2.64)-(2.68) vem que:
−
T
0
T
(k1u ′ µrk(t), v)θ ′ (t)dt +
0
(k2u ′ µrk(t), v)θ ′ (t)dt + a(uµrk(t), v)θ
0
′
(t)dt
T
+ Fk(uµrk(x, t))v(x)θ(t)dx dt = (f(t), v)θ ′ (t)dt
Q
Portanto, a partir das convergências (2.116)-(2.119), (2.132)-(2.135) e (2.142)-
(2.145) passamos o limite µ, r, k → ∞ na parte linear de (2.102). E de (2.128),(2.139) e
(2.148) na parte não linear, resultando que:
Daí:
−
−
T
(k1u
0
′ (t), v)θ ′ T
(t)dt +
0
k1(x)u
Q
′ (x, t)v(x)θ ′ (t)dx dt +
∀θ ∈ D(0, T ) e ∀v ∈ D(Ω).
Q
T
T
(k2u ′ (t), v)θ(t)dt + a(u(t), v)θ(t)dt
0
T
+ F (u(x, t))v(x)θ(t)dx dt = (f(t), v)θ(t)dt
k2(x)u
Q
′ (x, t)v(x)θ ′
(t)dx dt + −∆u(t)v(x)θ(t)dx dt
Q
+ F (u(x, t))v(x)θ(t)dx dt = f(x, t)v(x)θ(t)dt,
Q
Como o conjunto {θv; θ ∈ D(0, T ) e v ∈ D(Ω)} é total em D(Q) então:
k1(x)u
Q
′′
(x, t)η(x, t)dx dt + k2(x)u
Q
′
(x, t)η(x, t)dx dt + −∆u(t)η(x, t)dx dt
Q
+ F (u(x, t))η(x, t)dx dt = f(x, t)η(x, t)dt,
∀η ∈ D(Q).
Logo,
Q
k1(x)u ′′ + k2(x)u ′ − ∆u + F (u) = f, em D ′ (Q).
Como u ∈ L ∞ (0, T ; H 1 0(Ω)), segue que −∆u ∈ L ∞ (0, T ; H −1 (Ω)). Do fato de que
F (u) ∈ L 1 (0, T ; L 1 (Ω)), k2u ′ ∈ L 2 (0, T ; L 2 (Ω)) e f ∈ L 2(p+1)
p−1 ↩→ L 2 (0, T ; L 2 (Ω)), vem:
k1(x)u ′′ + k2(x)u ′ − ∆u + F (u) = f, em L 1 (0, T ; H −1 (Ω) + L 1 (Ω)).
O que demonstra uma parte do teorema.
2.5.1 Verficação dos dados iniciais
Mostrar que:
u(0) = u0.
Q
0
Q
0
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