11 - PROCESSOS DE CONFORMAÇÃO.

11 - PROCESSOS DE CONFORMAÇÃO.
11.1 – Laminação (Rolling)
O Processo de deformação plástica dos metais no qual o material passa entre rolos é
conhecido como laminação.
É o processo mais usado na conformação de metais, pela sua alta capacidade de produção e
pelo ótimo controle dimensional do produto final.
O equipamento destinado à laminação é denominado laminador, e consta basicamente das
seguintes partes: rolos, mancais, estrutura (gaiola) e sistema de transmissão de potência (motor).
A terminologia usada para descrever os produtos laminados não atingiu um consenso geral,
e os limites que dizem respeito às dimensões geralmente não podem ser enquadradas na
terminologia siderúrgica. O produto da primeira redução é chamado de bloco. Geralmente a largura
e a espessura do bloco são iguais e a área da sessão transversal é maior que 36 polegadas quadradas.
Uma redução posterior por laminação a quente resulta num tarugo. Blocos, tarugos e placas são
conhecidas como produtos semi-acabados, porque serão posteriormente transformados em outros
produtos.
A norma ABNT TB-20, classifica e define as chapas conforme as suas dimensões principais
(espessura e largura).
espessura (mm)
8,0
7,0
6,0
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
0,3
Barra
Chata
Tira
FOLHA
Chapa
Grossa
Chapa
Fina
100 300 500 700 900
11.1.1 – Tipos de aços para cilindros de laminação:
largura (mm)
Os materiais usualmente empregados na fabricação de cilindros para laminadores são aços e
131

fofos. Na verdade, as ligas Fé-C que contém entre 1,8 a 2,6%C, que constitui grande parte dos
cilindros de laminação, encontram-se em uma faixa de transição entre aço e FoFo. Os aços para
cilindros de laminadores são classificados segundo o processo de fabricação; onde se têm dois tipos:
aços forjados e aços fundidos. Os aços forjados para cilindros têm a vantagem de ser mais densos e
de possuir uma estrutura de grãos mais finos, o que lhes dá alta tenacidade.
O principal fabricante nacional de aços para cilindros de laminadores é a Aços Villares, que
produz os aços VAR e VAF Fundidos e VC-14 forjados.
Devido à dificuldade de ensaiar os cilindros dos laminadores (grandes), suas propriedades
mecânicas são avaliadas a partir de sua dureza superficial, geralmente determinada pelo método do
escleroscópio “shore” – dureza shore, e posteriormente transformados para as escalas Brinell,
Vickers e Rockell C.
V0
b0=b1
h0
v
α
v
h1
Figura 62 – Esquema do processo de laminação.
α=angulo de mordedura
(contato ou ataque)
"angle of bite"
h0
− h1
a- Porcentagem de redução (r): r = . 100%
(276)
h
b- Coeficiente de alongamento (δ ):
Onde, l1= comprimento da chapa laminada e
l0= comprimento inicial da chapa
Do volume constante, tem-se: bo.l0.h0 = b1.l1.h1
l
l
1
0
=
0
0
v1
l1
δ =
(277)
l
b
b
0
1
.
.
h
h
0
1
132

Na laminação, como b0 = b1:
c - Velocidade de Saída do Material (V1):
h0
δ =
(278)
h
•
V
0
•
V
1
V
=
t
sai
b0.h0.v0 = b1.h1.v1, como b0 ≅b1, vem:
0
•
V
0
= V
•
saida
l0
= b0.
h0.
= b0.
h0.
v0
{ t
v0
l1
= b1
. h1.
= b1.
h1.
v
{ t
v1
h
v = ∴ >
(279)
0
1 . v0
v1
v0
h1
Velocidade
v
v0
1
1
v1
pto neutro α
v > v > v
No ponto neutro, o material se encontra em repouso em relação ao cilindro (velocidade
superficial do rolo igual à velocidade do material).
d - Velocidade Relativa (vr):
v r
v1−v
= . 100%
(280)
v
0
133

e - Efeito do Atrito ao longo de α:
Por construção, tem-se:
2 2
2 ⎟ ⎛ ∆h
⎞
R = X + ⎜ R −
⎝ ⎠
Considerando ∆h pequeno, vem:
Vm < V
Vm= Velocidade do material
v
Efeito do
atrito
α
Efeito do
atrito
2
Pto neutro
R
x
α
R
2
R - ∆h
2
= X
2
Vm > V
+ R
2
∆h h0-h1
2 2
h
- R. h
4
∆
∆ +
X 2 = R. ∆h ∴X= R∆ h
(281)
Sabe-se ainda que:
Logo:
∆h
R −
2 ∆h
cosα
= = 1−
R 2R
x
senα
X
tgα
= = R =
cosα
∆h
∆h
R − R −
2 2
R
X
Para ∆h pequeno, tem-se que: tgα= (282)
R
R.
∆h
Substituindo (281) em (282), tem-se: tgα
= ∴ tgα
=
R
∆h
R
2
(283)
134

e.1 – Coeficiente de atrito (µ)
Valores de µ;
- Na laminação a frio: µ= 0,02-0,3 (Aço)
- Na laminação à quente: µ= 0,20-0,4 (Aço)
T
β = = µ
N
tg (284)
Para que ocorra a laminação a projeção de F no eixo de laminação deve ser positiva, ou seja;
Fx > 0. Isto é: Tcosα - Nsenα > 0 (285)
Supondo que ocorra um processo de atrito comlombiano, tem-se: T = µ.N (286)
Considerando (286) em (285), vem:
N (µ.cosα - senα) > 0 ∴ tgα < µ = tgβ (287)
α cresce à medida que os passes se tornam maiores, o que implica em um aumento de µ, para
permitir a entrada da chapa.
e.2 - Valor máximo de α (α máx):
Na condição limite a qual possibilita o cálculo da redução máxima com a “mordida” dos
cilindros, tem-se: tgα = tgβ = µ ∴ αmáx = tg -1 µ (288)
de (283), considerando (288), obtém-se:
h
tg hmáx
. R
R
2
∆ max
α max = = µ ∴ ∆ = µ
(289)
αmáx, depende: - do material; - da geometria; - do acabamento superficial do cilindro;
α
θ
Fx X
N β T
- da temperatura e; - da velocidade.
F
135

Valores Práticos de α
24º - 30º → laminação a quente de tarugos.
15º - 20º → laminação a quente de lâminas.
2º - 10º → laminação a frio de lâminas.
f - Distribuição de pressão ao longo do arco de contato material-cilindro:
A pressão atinge num máximo no ponto neutro, e a partir daí, cai. Sob o ponto de vista
prático não existe um pico sob a curva de pressão, e que leva a conclusão que o ponto neutro não é
um ponto e sim uma área).
(a)
p
Curva prática
Energia para
deformar o metal
(b)
Friction Hill
Figura 63 – Distribuição de pressão dos cilindros ao longo do arco de contato.
g - Cálculo da Potência de Laminação.
1- Método da Energia Uniforme de Deformação.
2- Método dos blocos (“Slab”).
g 1- Método da Energia Uniforme de Deformação (O atrito é desprezado)
h0
h1
F
α
136

U = σ.
d ∈
−
σ = K.
∈
−
−
∈
∫
σ = K
Considerando: deformação plana (largura constante):
n
→
( materialrecozido)
n ( ∈ + ∈)
→ ( material encruado)
∈ = deformação
0
0
0
Cálculo de ∈
inicial
σ
∈o
∈max
[ ( ) ( ) ( ) ] 2
1
2
2
2
d ∈ −d
∈ + d ∈ −d
∈ + d ∈ −d
2
d ∈ =
t b b l l ∈t
3
∈ t = ln
h
ho
Da condição de deformação plana: d = 0
Do volume constante, vem:
∈ b
d ∈t + d ∈b
+ d ∈l
= 0 ∴ d ∈l
= −d
∈t
Substituindo em d ∈ , vem:
1
−
2
2
2
2
[ ( d ∈t
) + ( d ∈t
) + ( 2d
∈t
) ] 2 ∴ d ∈ = . d t
− 2
d ∈ =
∈
3
3
Integrando, vem:
Cálculo da Potência de Laminação:
2 h
∈ = ln
U = l∫
σ .d ∈
3 ho
•
Pot = U.
V V = b.
h.
vsaida
1 cv = 75 kg.
m / s
g 2 – Método dos Blocos (slab Method”) (Análise simplificada)
Determinação da pressão específica de Laminação (p):
•
A pressão específica de laminação é a carga de laminação dividida pela área de contato.
∈
0
∈
137

De (283), sabe-se que:
2
2 2 ⎛ ∆h
⎞
Lp = ( R.
α ) − ⎜ ⎟ (290)
⎝ 2 ⎠
tgα
=
∆h
R
Para α pequeno, vem: α ≅
∆h
R
(291)
Substituindo (291) em (290), tem-se:
p
L
L
2
p
p
⎛ ∆h
⎞
=
⎜ R.
R ⎟
⎝ ⎠
≅
P
b.
L
1
2
2
2
⎛ ∆h
⎞
− ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
2
p
1
[ ]2
[ R.
∆h]
ou L ≅ R(
ho − h)
p
L
p
2
2 ∆h
⎛ ∆h
⎞
= R . − ⎜ ⎟
2 ⎝ 2 ⎠
(292)
= b = largura da chapa; P = carga de separação (293)
Definição de carga de separação:
R
Lp
Rα
a
α
R
h0
2 h
2
P
α
Τ
2
∆h
2
∆h
2
S
R
α
Para α pequeno:
tg α = α = (S/R)
Logo: S = R . α
138

∑
Fx = 0
−
−
σ . h.
b −σ
. h.
b − dσ
. h.
b − 2σ
x
Dividindo por
x
dσ
dx
x
−
h , e rearranjando vem:
2σ
x xy
+ −
h
fazendoσ
xy
−
= 0
= µ . p
xy
em
Da condição de deformação plana, vem:
−
. b.
dx = 0
dσ
dx
( 294)
2.
µ . p
h
x
( 294)
, vem : + = 0 ( 295)
d∈
⎡ 1 ⎤
1
d ∈b = 0 = .
⎢
σ b − ( σ x + σ z ) ⎥
∴ σ b = . ( σ x + σ z )
(296)
−
σ ⎣ 2 ⎦
2
Substituindo σ b , na expressão de Von Mises, vem:
σ = σ =
σ
0
0
=
h
3
.
2
1
.
2
2
2
2
[ ( σ −σ
) + ( σ −σ
) + ( σ − σ ) ]
( σ − σ ) σ −σ
= . σ ( 297)
z
σx
b
x
Lp
x P
Lp /2
mas, σ z = p (sobre o elemento), logo substituindo em (22), vem:
p −σ x = . σ 0 = σ 0
3
Supondo que o material é do tipo rígido plástico, ou seja:
x
P σxy
2 '
h
σxy
dx
x
h = h0 + h
2
+
σx dσx
z
z
x
x
z
2
3
b
0
1/
2
∴
( 298)
139

'
p x o
Vem: −σ
= σ = cte
(299)
Derivando (299) em relação a x, tem-se:
σ
σ' 0
dp dσ
x dσ
x dp
− = 0 ∴ =
(300)
dx dx
dx dx
Substituindo (300) na equação de equilíbrio (295), vem:
Separando-se as variáveis, obtém-se:
mas,
'
0
σ = C.
e
C = σ . e
dp 2µ . p
= − −
dx
h
dp
p
2µ = − . dx −
h
Integrando-se ambos os lados da equação, tem-se:
2.
µ . x
ln p = − + ln C
−
h
∴
ε
p = −C.
e
⎛
2 .
⎞
⎜ − µ x ⎟
⎜
⎝
−
h
⎟
⎠
Da condição de contorno, sabe-se que: quando x Lp / 2 ⇒ σ = 0
p − σ = σ
'
0
x
⎛ Lp ⎞
⎜ −2.
µ . ⎟/
h
⎝ 2 ⎠
( −µ
. Lp
) / h
'
0
; logo,
∴
quando x = Lp / 2
'
0
σ = C.
e
( −µ
. L p ) / h
Finalmente, substituindo (302) em (301), tem-se:
p =
= x
∴
( 302)
'
0
⇒ p = σ
' ( µ ( Lp−
2x
) / h)
σ e
(303)
0.
z
x
Lp /2
−
x
∴
( 301)
140

141
Distribuição da Pressão dos rolos ao longo de Lp:
Pressão média de deformação na laminação :
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
p
( )
dx
e
e
L
dx
e
L
p
Lp
dx
p
p
L
b
x
d
b
p
p
h
x
h
L
L
p
h
x
L
L
p
L
L
p
p
p
p
p
p
p
)
/
2
(
)
/
.
(
2
/
0
'
0
)
/
2
(
2
/
0
'
0
2
/
0
2
/
0
.
.
.
2
.
.
2
.
.
2
.
.
.
.
.
2
−
−
−
−
−
−
−
−
∫
∫
∫
∫
=
=
=
∴
=
µ
µ
µ σ
σ
dx
h
dU
h
x
U
dx
e
e
L
p
p
p
L
h
mx
h
L
p
.
.
2
.
.
2
.
.
2
2
/
0
/
2
/
.
'
0
−
−
−
−
−
=
∴
−
=
= ∫
−
−
µ
µ
σ µ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
1
2
.
.
2
2
.
2
/
.
/
.
'
2
/
0
/
2
/
.
'
0
0
h
L
h
L
p
L
h
x
h
L
p
p
p
p
p
e
L
e
e
L
p
h
e
p
h
µ
µ
µ
µ
µ
σ
µ
σ
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ −
−
= −
−
−
−
−
e
e
e
h
L
h
L
h
L
p p
p
p
L
h
p
/
.
/
.
/
.
'
0
1
.
. µ
µ
µ
µ
σ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
−
−
1
.
/
.
'
0
e
h
L
p
p
L
h
p
µ
µ
σ (304)
Fazendo:
−
=
h
L
Q
p
.
µ
em (304) vem:
[ ]
1
0 −
=
Q
'
e
Q
σ
p (305)
p
x
σ ’ 0
pm
)
/
.
(
'
0 .
−
h
L p
e µ
σ

de acordo com a definição da pressão específica de laminação, a carga de laminação é dada como:
−
P = p.
b.
L
(306)
Como: [ ] 2
1
Lp ≅ R.
∆h
e
'
σ 0 =
2
. σ 0
3
Tem − se finalmente : P =
2 ⎡ b Q
. σ 0.
⎢ ( e −1)
3 ⎣Q
⎤
R.
∆h⎥
⎦
( 307)
Cálculo do Torque (T):
T
= P.
a
2
∴ T = 2.
P.
a
(308)
p
Para reduções pequenas: a ≅ Lp/2 T = P. Lp (309)
Cálculo da Potencia de Laminação (N):
N=P.V= π.d.n.P = π.(2.a).n.P
N= 2. π.a P.n a [m] P [kg] n [rpm] (p/ 1 cilindro)
Nt = 2.(2π.a.P).n = 4π.a.P.n (para 2 cilindros)
N
N
N
t
t
t
( cv)
( cv)
4π
. a.
P.
n
=
4500
2π
. T.
n
=
4500
2π
. T.
n
33.
000
Cálculo da potência total do motor (Nm):
h - Cargas de laminação a quente:
I – Equação de Ekelund:
sendo:
( 310)
( 311)
( HP)
=
( 312)
Nt
N m = η = rendimento total do laminador.
η
Ekelund propôs para a carga de laminação a quente a seguinte expressão:
1,
6.
µ
Qe = 1+
( h h)
Qe
P = σ . b.
R.
o −
(313)
0
R
( h − h)
−1,
2(
h − h)
o
h
o
+ h
o
(314)
142

Podendo ser adotado para o cálculo do coeficiente de atrito na laminação de aço, com
cilindros de aço, a expressão: µ = 0,8 (1,05 – 0,0005 T) (315)
T = temperatura de laminação a quente em ºC.
II- Equação de Orowan – Pascoe:
Onde:
Orowan-Pascoe propôs para a carga de Laminação a quente a seguinte expressão:
( h − h)
Qp
P = σ b.
R.
.
(316)
0.
0
1 ⎡ R ⎛ h ⎤
0 − h ⎞
Qp = ⎢π
+ ⎜ ⎟⎥
(317)
4 ⎢⎣
h ⎝ h ⎠⎥⎦
i - Efeito da tração de ré e da Tração avante na carga de Laminação e na Distribuição de
pressões no rolo:
A presença de tensão no plano da placa pode reduzir a carga de laminação. A tração de ré
pode ser produzida por controle da velocidade da desembobinadeira (desenroladeira) relativamente
à velocidade dos rolos, e a tração avante pode ser criada pelo controle da bobinadeira.
Como mostra a figura 64, a adição da tração avante e da tração de ré junta reduz a área sobre
a curva, daí, a carga de laminação e, além disso, desloca ligeiramente o ponto neutro. Se uma tração
de ré suficientemente elevada for aplicada, o ponto neutro ira eventualmente atingir a saída dos
rolos. Quando isso ocorre, os rolos estão se movendo mais rápido do que o metal e deslizam sobre o
mesmo.
p
apenas
tração
avante
α e αs
sem tração avante
ou tração de ré
tração de ré
e avante
apenas tração de ré
Figura 64 - Efeito da Tração de ré e da Tração avante na distribuição de pressões no rolo.
α
143

11.2 –Forjamento (“FORGING”).
Define-se forjamento como sendo a conformação mecânica de um metal através de
aplicações intermitentes de pressão. É a mais antiga arte de transformação de metais.
A maioria das operações de Forja é realizada a quente, contendo certos metais podem ser
forjados a frio.
Usam-se duas classes bascas de equipamento para a operação de forjamento: o martelo de
forjar aplica golpes de impactos rápidos sobre a superfície de metal, enquanto as prensas de forjar
submetem o metal a uma força compressiva aplicada de forma lenta.
11.2.1- Tipos de Processos de Forjamento:
Basicamente, existem três processos de forjamento: Forjamento em martelo, Forjamento
Livre e Forjamento em Matriz Fechada.
a- Forjamento em Martelo: é o processo tradicional, e consiste em colocar a peça de aço, em
uma temperatura determinada, sobre uma bigorna, e atingi-la rapidamente com um martelo, de
modo a conformá-la. O processo pode ser manual ou mecânico (martelo de queda livre com prancha
ou martelo mecânico a vapor). Os martelos de forja geralmente não fornecem uma boa precisão de
forjamento como as prensas de Forja. Devido as suas características inerentes de impacto, os
problemas de impacto no solo, barulho e vibração devem ser considerados.
b- Forjamento livre: É realizado entre matrizes planas ou de formas muito simples. O
processo é utilizado mais comumente para peças grandes ou quando o número de peças é pequeno.
O forjamento livre, normalmente é utilizado para preparar a forma da peça para o forjamento em
matriz. Utilizam-se prensas excêntricas ou hidráulicas neste processo.
c- Forjamento em Matriz Fechada: No forjamento em matriz fechada a peça é deformada
entre duas metades de matriz (matriz bi-partida) que dão a forma final desejada ao metal. A peça a
forjar é deformada sob alta pressão numa cavidade fechada, comprimida lentamente. Com isso, o
metal tem mais tempo para escoar e, portanto, podem ser produzidas peças forjadas de precisão com
tolerâncias dimensionais mínimas. Utilizam-se também neste processo, prensas excêntricas e
hidráulicas.
A pancada de uma prensa excêntrica é mais uma aplicação de carga crescente do que o
impacto dos martelos. Por isso, as matrizes podem ser menos maciças e a sua vida útil é maior que a
de um martelo. São encontradas prensas mecânicas variando de 300 a 12000 toneladas. O custo
inicial de uma prensa é muito maior do que a do martelo, o que pode ser compensado pela sua alta
taxa de produção.
A prensa hidráulica é uma máquina de velocidade baixa, o que resulta em tempos longos de
144

contato com a peça que pode levar a problemas com a perda de calor da peça a ser trabalhada e com
a deterioração da matriz. Por outro lado, a prensagem lenta de uma prensa hidráulica resulta em
forjamento de pequenas tolerâncias dimensionais. São encontradas prensas variando de 500 a 18000
toneladas.
11.2.2- Aço Para Forjamento:
Define-se aço para forjamento como aquele aço que se adapta particularmente bens as
operações de trabalho a quente.
11.2.3 – Tipos de Aço Para Forjamento:
Aços carbonos, aços de baixa liga e aço de alta liga.
- Aços carbonos: teor de carbono (0,15% - 0,55%), Mn (0,3% - 0,9%)
- Aços baixa liga: teor de carbono (0,15% - 0,30%) Cr, Mo, Ni, ou V. São empregados até
temperaturas de 500ºC. DIN 17006 e ASTM a 295-46T (52.100, 51.100, 50.100).
- Aços alta liga: São do tipo inoxidável com baixos teores de carbono e altos teores de Cr, Ni
e Mo, além de W e V. DIN 17006.
11.2.4 - Propriedades Mecânicas dos Forjados:
São bastante anisotrópicos. O trabalho a quente, nos metais provoca um alongamento das
regiões de segregação, empurezas, na direção do fluxo plástico (“Banding” ou “Mechanical
Fibering”). A dutilidade, tenacidade e resistência a fadiga é bem maior na direção das linhas de
fluxo.
11.2.5 – Análise do Processo de Forjamento: Cálculo da carga de Forjamento (matriz aberta):
I- Método da Energia de Deformação Uniforme;
II- Método dos Blocos (Forjamento em Deformação Plana)
I - Método da Energia de Deformação Uniforme:
No forjamento em matriz aberta, considerando-se um paralelepípedo de altura ho e área Ao
sob uma força de compressão P, atuam as seguintes tensões (conforme fig.65):
145

Ao
ho
A
Instante Inicial Instante intermediário Instante final
σ2
Ao
a
σ1
dh
h
b
Af
σ3
Figura 65 – Esquema do processo de forjamento.
p
σ1 = , σ 2 = 0
e σ 3 = 0
A
0
ho
σ σ = σ
(318)
Do critério de escoamento de Tresca, sabe-se que: 1 − 3 0
(319)
Onde σ 0 é o limite de escoamento do material. Considerando-se (318) em (319), tem-se:
P
σ1 σ 0 = ∴ P = A0.σ
0
A
= (320)
0
O trabalho de deformação plástica para um dado elemento incremental do paralelepípedo,
num estágio intermediário é dado como:
dW = P.dh (321)
Substituindo (320) em (321), vem:
dW = A0. σ0. dh = a. b. dh. σ0
hf
146

Ou multiplicando e dividindo por h, tem-se:
Integrando (322), para δV = 0.
-
W =
∫
sendo
dh dh
dW = a{
. b.
h.
. σ 0 = V.
σ 0.
(322)
h
h
hf
h0
dW =
−
∈=
hf
h0
∫
V
V.
σ .
0
hf
h0
∫
⎛
⎜
⎝
dh
h
⎛ dh ⎞ h
⎜ ⎟ = −ln
⎝ h ⎠ h
⎞
⎟
⎠
f
0
∴
∴
⎛
⎜
h
w = V.
σ 0.
ln
⎜
⎝ h
⎛ ⎞
⎜
h0
∈ ⎟
c = ln
⎜ ⎟
⎝
h f ⎠
0
f
⎞
⎟
⎠
(323)
Supondo que não haja encruamento e que σ 0 , apresenta um valor médio do limite de
escoamento. Como o volume é constante, tem-se:
A . h
O
0
0
substituindo
− A f
W = V.
σ 0 . ln.
A
W = P
( h − h )
0
Igualando
trabalho,
⎛h
σ 0.
V.
ln⎜
P =
⎝
h − h
0
. h
( 324)
em ( 323)
f
( 323)
e ( 9326)
0
f
0
h
f
A
f
f
também
II- Método dos Blocos (“slab Method”):
=
⎞
⎟
⎠
∴
vem :
pode
h
h
0
f
ser
=
A
A
0
( 325)
( 326)
finalmente
f
expresso
tem − se :
( 327)
como :
( 324)
Hipóteses:
- O metal se deforma em estado de deformação plana;
- O escoamento lateral, normal ao percurso do êmbolo acarreta tensões de atrito cisalhantes
nas superfícies de contato da matriz;
- Na análise admite-se que a placa de metal apresenta largura W; normal ao plano do papel e
que a mesma permanece constante.
147

∑ F
= 0
dσ
2σ
x +
d h
x
x
xy
∴
= 0
σx
P σxy
P
a a
b
Z
x
σx+ dσx
dx
σxy
σ . h.
w −σ
. h.
w − d.
σ . h.
w − 2.
σ
x
x
x
xy
. d
x
h
. w = 0
(328)
Supondo que a tensão cisalhante esteja relacionada com a pressão normal pela Lei de
Conlomb do atrito dinâmico, σ = µ p , em (328), tem-se:
xy
dσ
x 2.
µ . p
+ = 0
d h
Da condição de deformação plana, vem:
x
d ∈ ⎡
d ∈w
= 0 = . σ
σ ⎢
⎣
1
σ w = . ( σ x + σ z )
2
w
1
− .
2
( σ + σ )
Substituindo (330), na expressão de Von Mises, tem-se:
σ = σ =
0
1
.
2
x
z
⎤
⎥
⎦
∴
(329)
(330)
1
2
2
2 2
[ ( σ −σ
) + ( σ −σ
) + ( σ −σ
) ] ∴
w
x
3
2
σ 0 = . ( σ z −σ
x ) ∴ σ z −σ
x = . σ 0
(331)
2
3
x
z
z
w
148

Mas σ = p (sobre o elemento), logo (331) fica:
z
Supondo que o material é do tipo rígido plástico, ou seja:
p −σ x = σ '=
cte
Derivando (333) em relação a “x”, vem:
dσ
x
− = 0
dx dx
0
dσ
dx
dp x
Substituindo (334) em (328), tem-se:
Separando as variáveis, obtem-se:
∴
dp 2µ
= − dx
p h
Integrando ambos os lados de (335), vem:
2µ
ln p = − x + ln C
h
=
dp 2µ
p
= −
dx h
dp
dx
Da condição de contorno, sabe-se que: Quando x = a, σx = 0.
Z
x
a
σ = σ
Mas de (333) p − x 0'
. Logo, quando x = a → p = 0 '
0
-2µ
a/h
σ '=
C.
e ∴ C = σ '. e
Substituindo (337) em (336), tem-se que:
[ 2µ
( a−
x)
/h
p = σ
]
0'. e
x
0
2
'
p −σ x = . σ 0 = σ 0 (332)
3
p = C.
e
σ
-2µ
a/h
(335)
(333)
-2µ
x/h
(338)
(334)
(336)
(337)
149

De (332), considerando (338), obtem-se:
Pressão média de Forja ( p ):
É definida como:
p =
0'
[ 2 a / h
p e
]
e
[ 2 x / h
.
]
. dx
a ∫ −
σ µ
µ
=
a
0
a
∫
0
[ 2µ
( a−x
) /h
σ = σ '. { e
]
−1}
(339)
x
a
0
p.
w.
dx σ 0'
e
[ 2µ
( a−
x)
/ h
= .
]
dx
aw ∫ a
Fazendo: U = −2µ
x / h
−
dU =
h
dx
⎛ a
σ
⎞
0 ' [ 2µ
a / h
=
] ⎜ h
−
[ −2µ
x / h
p . e . . e
] ⎟
a ⎜ 2µ
⎟
⎝
0 ⎠
σ 0'
[ 2µ
a / h]
⎛ h −2µ
a / h ⎞
p = . e . ⎜−
[ e −1]⎟
a ⎝ 2µ
⎠
[ ] ⎛ ⎡ 2µ
a / h
σ
⎤⎞
0'
2µ
a / h ⎜
h 1−
e
p = . e . −
⎟
⎜ ⎢ 2µ
a / h ⎥
a
⎟
⎝
2µ
⎣ e ⎦⎠
σ 0'. h 2µ
a / h
p = . ( e −1)
a
(340)
Carga total de Forjaria (P):
2µ
P . 2 .
É definida como: p aW
Como b = 2a, finalmente tem-se:
σ
P =
Forjamento em Matriz fechada:
0
2µ
σ 0'. h.
W 2µ
a / h
= P = . ( e −1)
h.
W
.
µ
µ b h ( e 1)
0'. /
−
(341)
Normalmente a deformação em matriz fechada é muito complexa, e o projeto das etapas
intermediárias para produzir uma peça final com precisão requer considerável experiência e perícia.
O problema particularmente importante em forja em matriz fechada é a prevenção do resfriamento
rápido da peça de trabalho pelas matrizes frias. A eliminação desse resfriamento resulta numa
tensão de escoamento mais baixa e, conseqüentemente, uma carga de forjamento também mais
baixa, e permite um completo preenchimento da matriz e tolerâncias dimensionais mais precisas.
O projeto de uma peça forjada em matriz fechada envolve a previsão de:
µ
150

- Volume e peso da peça a trabalhar;
- Número de etapas de pré-deformação e suas configurações.
- Dimensão da rebarba de forja nas matrizes de pré-deformação e de acabamento;
- Os requisitos de carga e energia para cada operação de forjamento.
No estudo de uma etapa de pré-deformação analisam-se normalmente as seções transversais
da peça para basear o projeto no escoamento plástico do metal. Tais considerações são:
A - A área em cada seção transversal ao longo do comprimento deve igualar a área da seção
transversal final mais a rebarba.
B. - Todos os raios côncavos na pré-deformação devem ser maiores do que os raios na peça
final.
C - A seção transversal da peça pré-deformada deve ser apenas ligeiramente maior do que a
seção transversal final, de maneira a concentrar a deformação no recalque e minimizar o
escoamento transversal ao eixo do recalque.
A previsão das cargas de Forjamento e da pressão numa operação de Forjamento em matriz
fechada é relativamente difícil de calcular. Existem várias tentativas, sendo que a análise de placa
adaptada ao forjamento em matrizes fechadas mostra-se satisfatória. A aproximação básica é dividir
a forja em formas geométricas simples de modo que possam ser tratados pela análise de placa.
A carga total de forjamento é a soma das cargas calculadas para cada uma das partes da
peça.
Distribuição da tensão normal e longitudinal para a compressão entre placas. [eq. (338)]:
'
0
σ0' σ
11.3 – Extrusão (Extrusion).
P
P
( 2µ
a / h)
2µ a/h µ b/h
σo' e = σo' e σ . e =
A extrusão é o processo no qual um bloco de metal é reduzido na sua seção transversal pela
aplicação de pressões elevadas forçando-o a escoar através do orifício de uma Matriz.
σx σ
x
'
0
x
'
0
σ . e
( µ b / h)
151

Normalmente a extrusão é usada para produzir barras cilíndricas ou tubos vazados, mas
podem ser produzidas seções transversais de forma irregular nos metais mais facilmente extrudaveis
como o alumínio.
11.3.1 – Tipos Básicos de Processo de Extrusão:
Os dois tipos básicos de extrusão são: extrusão direta e a extrusão indireta.
Porta Matriz
Produto
Extrudado
Matriz
Produto
Extrudado
Êmbolo
Matriz
Extrusão Direta
Tarugo
Extrusão Indireta
Tarugo
Container
Container
Êmbolo
Anteparo
Normalmente na extrusão indireta, o êmbolo é mantido estacionário, e o recipiente com o
tarugo faz o movimento. Em função desse fato, na extrusão indireta não há movimento relativo
entre as paredes do recipiente e o tarugo, e com isso as forças de atrito são menores e a potência
necessária para a extrusão indireta é menor do que para a extrusão direta. Contudo, existem
limitações para a extrusão indireta devido à necessidade do uso de um êmbolo vazado, o que limita
a carga aplicada.
Podem ser produzidos tubos por extrusão pela adaptação de um mandril no extremo do
152

êmbolo (tubos sem costura).
Grande parte das extrusões são feitas com prensas hidráulicas.
É importante diferenciar: Porcentagem de redução em área, = − ( A / A ) e razão de
r 1 f 0
extrusão, R = A / Af
→ R = 1/(
1−
r)
. Para uma variação na porcentagem de redução em área
0
de r = 0,95 para r = 0,98, implica uma variação para a razão de extrusão de R = 20 : 1 para R = 50:1.
- Para extrusão a quente de aço, atinge-se R=40:1
- Para extrusão a quente de alumínio consegue-se R= 400:1
Um lubrificante efetivo para extrusão a quente deve ter uma resistência ao cisalhamento
baixa e ser ainda estável o suficiente para evitar a decomposição em temperaturas elevadas. Para
extrusão a quente de aços e ligas de níquel, o lubrificante comum é vidro fundido “Processo Ugine
– Sejournet”.
11.3.2 – Análise do Processo de Extrusão:
Cálculo da carga de extrusão:
I Método da Energia de deformação Uniforme
II Método dos Blocos (“Slab Method”).
I. Método da Energia de deformação Uniforme
Figura 66 – Esquema do Processo de Extrusão.
O trabalho de deformação por unidade a volume é dado como:
Sabe-se que: = A dl - incremento de trabalho para um aumento de comprimento
dw σ . )
( 0
dw dw ( σ
0.
A.
dl)
dl . Onde: = =
∴
V A.
l A.
l
F
153

dw dl
= σ 0.
incremento de trabalho por unidade de volume.
V l
integrando a expressão, para δ V = 0,
vem:
w l
dw f
∫
0
V
Do volume constante, vem:
Substituindo (343) em (342), tem-se:
f
dl w ⎛ l ⎞
= ∫σ
0.
∴ = σ 0 ln
⎜
⎟
(342)
l V
0
⎝ l
l
0 ⎠
l f A0
A0
. l0
= Af
. l f =
(343)
l A
0
⎛ ⎞
⎜
A0
w = V.σ
⎟
0 . ln
(344)
⎜ ⎟
⎝ Af
⎠
Onde σ 0 é o valor médio do limite de escoamento do material.
O trabalho externo é dado como:
Igualando (345) e (344), obtem-se:
0
0
f
W = F.
l = p.
A . l
(345)
0 V 0 p A l
⎜ A ⎟ { 0 0
⎝ f ⎠ V
0
⎛ A ⎞
. σ . ln⎜
⎟ =
⎛ ⎞
⎜
A0
p = σ ⎟
0. ln
(346)
⎜ ⎟
⎝ Af
⎠
Onde p, é a pressão de extrusão idealizada, visto que não se considera o atrito e o trabalho
redundante. Como, R = A / Af
, razão de extrusão, substituindo em (346), vem:
0
p = σ . ln R
(347)
0
Finalmente, a carga de extrusão é dada como:
F = p.
A
(348)
II - Método dos Blocos (“Slab Method”):
0
HIPOTESES:
- Supõe-se que o elemento infinitesimal da zona de deformação pode ser considerado
como uma casca esférica.
- O escoamento consiste de uma série de cascas esféricas ou blocos, movendo-se ao longo
.
.
154

do cone.
- O estado de tensão é esférico ( σ x , σ z e σ θ ).
σx
σx
σz
σz
(a)
σα µσα
σα µσα
(c)
σx
σx+dσx
D
α
ds
σx
σ
σ =σ
z 0
(b)
dD/2
D+dD
Figura 67- Estado de tensão para a extrusão, Fig. 66. (a) estado de tensão; (b) círculo de Mohr, (c)
diagrama do corpo livre, (d)geometria do processo.
Da fig. 67(c), fazendo equilíbrio de forças, tem-se:
Desenvolvendo, vem:
2
F x
∑
πD
x = σ x
4
− x
+ µσ . π.
D.
ds.
cosα
= 0
α
2
πD
σ x
4
− x x
4
+ µσ . π.
D.
ds.
cosα
= 0
2
α
π
4
( σ + dσ
) . ( D + dD)
dx
(d)
π 2
2
( σ + dσ
) . ( D + 2D.
dD + dD )
2
2
+ σ . π.
D.
ds.
senα
α
+ σ . π.
D.
ds.
senα
πD
σ x
4
πD
−σ
x
4
π
π 2 π 2
−σ
x . 2D.
dD −σ
x dD − dσ
x.
. D
4
4 4
π
π 2
− dσ
x.
. 2D.
dD − dσ
x.
. dD + σα
. π.
D.
ds.
senα
+ µσα
. π.
D.
ds.
cosα
= 0
4
4
Simplificando, desprezando-se os termos infinitesimais tem-se:
2
1
D
−σ x D. dD − dσ
x.
+ σα
. D.
ds.
senα
+ µσα
. D.
ds.
cosα
= 0 (349)
2
4
α
σ
155

Da figura 67 (d), geometria do processo, sabe-se:
dx
dD
ds . senα
= senα
= dx.
tgα
=
cosα
2
( dD 2)
ds.
cosα
dx =
tgα
= (350)
Substituindo (350) em (349), e multiplicando-se por ( 4/
D ) , vem:
Rearranjando, vem:
dD
dD dD 1
− 2 σ x − dσ
x + 4σ
α . + 4µσα
. . = 0
D
2D
2D
tgα
dD
dD
2σ α ( 1+
µ . cotgα)
= dσ
x + 2σ
x.
D
D
1 D
dD ⎞
σα ( 1+
µ . cotgα)
= ( dσ
x + 2σ
x.
⎟ (351)
2 dD
D ⎠
σ = σ
De Von Mises, fazendo z θ , vem:
[ ( ) ( ) ( ) ] 2 / 1
2
2
2
σ −σ
+ σ −σ
+ σ σ
1
σ = σ 0 = x z z θ x −
2
2 1/
2
[ 2(
σ −σ
) ] ∴ σ = ± ( σ σ )
1
σ 0 = x z
0 x −
2
De Levy Mises, na direção x, tem-se:
dx d ∈ ⎡ 1 ⎤ d ∈
d ∈x
= = σ x z θ
x σ z
x σ ⎢
−
⎣ 2 ⎥
⎦ σ
( σ + σ ) = [ σ − ]
2
z
θ
(352)
(353)
d ∈ x é negativo, d ∈ / σ sempre é positivo; logo ( σ x − σ z ) em (353) deve ser negativo, de
onde (352) fica:
( σ x −σ
z ) ∴ σ = σ z σ x
σ −
−
0 = 0
(354)
Sabe-se do elemento e do circulo de Mohr, Fig. 67, que:
σ σ = σ
Onde substituindo (355) em (354), tem-se:
σ + σ
Substituindo (356) em (351), obtem-se:
α
= z (355)
θ
σ α = 0 x
(356)
( 0
σ + σ )( 1+
µ . cotgα)
=
x
1
2
D
dD
dD ⎞
( dσ
x + 2σ
x.
⎟
D ⎠
1 D
σ 0
+ σ 0.
µ . cotgα
+ σ x + σ x.
µ . cotgα
= dσ
x + σ x
2 dD
156

Fazendo-se B = µ . cotgα
, tem-se:
dσ
x dD
= 2
σ µ . cotgα
+ σ .( 1+
µ . cotgα)
D
x.
0
dσ
x dD
= 2
Bσ
+ σ .( 1+
B)
D
. x 0
(357)
1º caso – Para a condição de extrusão na qual µ = 0, B = 0 e α → 0 (lubrificação perfeita),
(357) reduz-se à:
Onde, integrando vem:
D
∈f
∈0
dσ x = 2σ 0
∈=
ln( A / A
dD
D
0
0 f
dD
σ x = ∫ 2σ
0 = ∫σ
d ∈ = ∫σ
d ∈
(358)
D
D f
Obs. Quando , µ = 0,
a pressão de extrusão pelo método da energia de deformação uniforme para
uma matriz quadrada e pelo “Slab Method” para uma matriz cônica de ângulo α pequeno são
equivalentes.
Obs. A tensão efetiva, ou tensão média do material na extrusão pode ser definida pelo método
Johnson:
∈
1 1 n
σ 0 = ∫σ
. d ∈=
∫ K.
( ∈)
. d ∈ =
∈ ∈
Para grande deformação efetiva, uma fórmula empírica é:
0
∈=
1
, 5
∈
0
0
⎛ Af . ln
⎜
⎝ A0
⎞
⎟
⎠
)
+
0,
8
K.
( ∈)
1+
n
2º caso Para a condição mais geral de extrusão na qual µ ≠0 e α ≠ 0, (357) pode ser integrada
considerando σ0 = cte, de onde vem:
∫
Bσ
1
. ln
B
dσ
dD
2.
x + σ 0(
1+
B)
D
[ Bσ
+ σ ( 1+
B)
] = 2ln
D + ln C
x
x
0
=
∫
n
157

1
ln[
Bσ
( B)
] B
x + σ 0 1+
= ln.
1
[ Bσ
+ σ ( 1+
B)
] B
2
= D . C
x
0
2
D . C
Da condição de contorno, sabe-se que quando D D ( ⇒ σ = 0)
σx=0 Df
Logo, quando D=Df-em (359), tem-se:
[ ( 1+
B)
]
= f
x
Do
σx
[ σ ( 1+
B)
]
∴
(359)
1
1 2
B
0
σ B
0 = D f . C ∴ C =
(360)
2
D f
Substituindo (360) em (359) e rearranjando, vem:
B.
σ + σ
σ
σ
x
x
x
x
=
=
σ = σ
2B
0
0
D C
B
2B
D
.
B
( 1+
B)
B
( 1+
B)
B
{ [ σ ( 1+
B)
] } σ ( 1+
B)
( 1+
B)
B
σ 0 −
0
D
⎡⎛
. ⎢⎜
⎢⎜
⎣⎝
= D
2B
f
B
D
D
f
2B
⎞
⎟
⎠
. C
2B
B
−
0
⎤
−1⎥
⎥
⎦
B
∴
(361)
Onde σ x , é a pressão axial de extrusão. Supondo σ 0,como o limite de escoamento médio do
material, para D=D0 em (361) obtém -σ x =p,onde p, é a pressão média de extrusão e supõe-se não
variar ao longo da seção. Assim, a pressão média da extrusão p, para -σ0=cte,, é dada como:
2B
⎡ ⎤
⎛ 1+
B ⎞ ⎛ ⎞
⎢⎜
D0
= ⎜ ⎟ ⎟ − ⎥
0.
. 1
⎝ B ⎠ ⎢⎜
⎟ ⎥
⎣⎝
D f ⎠ ⎦
p σ (362)
Obs. No cálculo da pressão de extrusão real em um processo qualquer, é necessário multiplicar p
por um fator de cisalhamento K. O fator de cisalhamento K, contudo, depende de α e µ, mas
normalmente estima-se K≅1,5.
158

3º caso: Para a condição de atrito viscoso (fricção pegajosa), η =
1
= 0,
577,
3
o
α = 45
(condição de aderência “Sticking”), aproximação para a solução de um problema de extrusão no
qual uma zona morta de metal no canto da matriz é formada quando uma superfície de atrito grande
ocorre). Para: η =
1
3
e
°
α = 45 ⇒ B = η.
cot gα
=
1
(363)
3
Substituindo (363) em (362) tem-se finalmente:
11.4 Trefilação (“Drawing”).
1,
155 ⎡⎛
⎞ ⎤
⎢⎜
D0
= 2,
73 ⎟ −1⎥
0
⎢⎜
⎟ ⎥
⎣⎝
D f ⎠ ⎦
p σ (364)
O processo de trefilação consiste em puxar o metal através de uma matriz, por meio de uma
força de tração a ele aplicada na saída da matriz. A maior parte do escoamento plástico é causada
por esforços de compressão resultantes da reação do metal com a matriz.
Define-se arame ou fio como sendo um produto obtido por trefilação de secção transversal
uniforme, geralmente circular muito pequena em relação ao seu comprimento. Podem-se também
obter geometrias diferentes, como, por exemplo, quadrada, retangular, triangular, oval, etc.
A faixa de bitolas em que se fabricam os fios e arames é bastante extensa, podendo variar
entre 0,02 mm e 25 mm. Bitolas maiores que 10 mm, são consideradas barras. Para a fabricação de
arames parte-se do fio-máquina obtido por laminação a quente de barras, geralmente quadradas com
38 a 76 mm de lado, e que é enrolado. O diâmetro do fio-máquina, assim obtido, tem um diâmetro
entre 5,0 e 5,5mm. A trefilação também pode ser realizada em tubos ocos e, neste caso, existem
diversas técnicas empregadas, com a utilização ou não de um mandril interno ao tubo, que permite
um melhor controle da espessura final. Durante a operação de trefilação, ocorre aumento
considerável de temperatura causado pelas grandes deformações envolvidas no processo, embora
ela seja realizada à temperatura ambiente.
A trefilação pode ser realizada por dois processos:
- Trefilação por via Seca: usa-se cal como um absorvedor e transportador do lubrificante
(graxa ou pó de sabão) e também para neutralizar qualquer ácido remanescente da decapagem (no
caso de se eletro depositar sobre arame de aço cobre ou estanho).
- Trefilação por via Unida: usa-se no processo de trefilação em que toda a matriz fica
imersa num fluido lubrificante.
11.4.1 – Tipos de Aços para Arames:
Os arames de não-ferrosos e de aço baixo-carbono são produzidos com diversas durezas,
159

desde aquela correspondente ao recozimento pleno até a relativa ao endurecimento total. No caso de
aços tem-se:
1. Aços baixo-carbono (0,09 a 0,20%C) – dependendo da aplicação, podem ser usados sem
qualquer tratamento térmico, ou nos estados normalizados ou recozido.
2. Aços médio-carbono (0,0 a 0,55%c) podem ser empregados sem tratamento térmico ou
patenteados e trefilados.
3. Aços alto-carbono (0,55 a 1,00%c) – podem ser empregados sem tratamento térmico, ou
patenteados e trefilados.
Principais fabricantes de aços para fios e arames: Cia. Siderúrgica Riograndense e a Fiel
S/A – Aços e Metais.
11.4.2 – Patenteamento de Arames e Fios:
O patenteamento é um tratamento que visa a obtenção de uma estrutura de perlita fina ou
bainita no aço. Essa estrutura é necessária para que se tenha um material com boa dutilidade, pois
ele será submetido a condições severas de trefilação, além de apresentar altos níveis de resistência a
tração.
O tratamento consiste em se aquecer o aço já transformado em arame, até uma temperatura
acima da linha A3 e em seguida, resfria-lo rapidamente ao ar, ou em um banho de chumbo fundido,
mantido em uma temperatura entre 450ºC e 550ºC.
No caso do arame que sofre resfriamento ao ar, diz-seque foi patenteado ao ar. Tal
tratamento é semelhante à normalização, portanto, a estrutura final do aço é constituída de perlita
fina.
No caso do arame que sofre resfriamento em banho de chumbo, diz-se que foi patenteado
ao chumbo. Esse tratamento é semelhante à austêmpera, apesar da temperatura do banho nesse caso
ser mais elevada. Com isso tem-se bainita superior como estrutura final ou mesmo perlita fina.
O tipo de defeito de trefilação mais comum é a fenda interna no centro da barra ou
trincamento estriado (“cupping”)
11.4.3 – Análise do Processo de Trefilação:
I.
Cálculo da carga de trefilação
Método da Energia de Deformação Uniforme;
II. Método dos blocos (“Slab Method”)
I- Método da Energia de Deformação Uniforme:
Já demonstrado no item 10(a) – aplicação do método à trefilação de barras.
160

II – Método dos Blocos (“Slab Method”):
Na Figura 68, fazendo equilíbrio de forças sobre o elemento considerado, utilizando-se o
mesmo processo empregado para a extrusão, a equação diferencial resultante tem a mesma forma da
equação (357) – extrusão, definido apenas pelo sinal no denominador, isto é:
Do
σx + dσx
α
µσα
D+dD
µσα
σα
σα
ds
dx
σx
D
Figira 68 – Equilíbrio de tensões sobre um elemento de espessura infiitesimal durante a
trefilação de um fio.
onde B = µ . cotgα
dσ
x dD
= 2
Bσ
−σ ( 1+
B)
D
. x 0
α
(365)
1º caso – Para a condição de trefilação na qual µ = 0, σ 0 = cte , B = µ . cotgα
= 0 , (365)
reduz-se à (lubrificação perfeita):
dD
dσ x −2σ
0
D
onde, integrando vem:
= − σ ln D + C
x
= (366)
σ (367)
2 0
Da condição de contorno, sabe-se que: - quando
em (367), tem-se:
= D0
→ x = 0
D σ logo, quando D = D0
df
F
161

0 −2σ
ln D + C
∴ C = 2σ
ln D
= (368)
Substituindo (368) em (367) vem:
0
0
σ x = −2σ
0 ln D + 2σ
0 ln D0
⎟ ⎛ ⎞
= − 0 ⎜
⎝ 0 ⎠
ln 2
D
x σ
D
0
0
σ (369)
fazendo D = D f em (369) determina-se a tensão necessária para a trefilação, de onde vem:
f
= 2σ
0 ln
⎛
⎜
⎝ D
D 0
f
⎞
⎟
⎠
σ (370)
Obs. Quando µ = 0 a tensão de trefilação pelo “Slab Method” é equivalente a obtida pelo método
da energia de deformação uniforme.
2º caso – para a condição mais geral de trefilação na qual µ 0, σ = cte , (365) pode ser
integrada, como:
ln
∫
dσ
x dD
= ∫ 2.
Bσ
−σ ( 1+
B)
D
x
0
1/
B 2
[ B −σ ( 1+
B)
] = ln D . C
x
0
1
ln
B
≠ 0
[ Bσ
−σ ( 1+
B)
] = 2ln
D + lnC
σ [ B −σ ( 1+
B)
] = D . C
x
0
x
0
1/
B
σ (371)
Da condição de contorno, sabe-se que: quando = D0
→ x = 0
1/
B
2
0
em (371), tem-se: [ −σ ( 1+
B)
] = D . C
substituindo (372) em (371) e rearranjando, vem:
σ
x
σ
=
0
B . σ x −σ
0(
1+
B)
= D . C
2B
B
D . C σ .( 1+
x = + 0
2B
D
B
.
B
D σ logo; quando D = D0
2B
B
C =
B
B)
[ −σ
( 1+
B)
]
0
D
2
0
∴
1/
B
2
∴
1/
B B
{ [ −σ
0(
1+
B)
] } σ 0.(
1+
B)
+
∴
D
2B
0
B
(372)
2B
( 1+
B)
⎡ ⎛ D ⎞ ⎤
σ x = σ 0 ⎢1
− ⎜
⎟ ⎥
B ⎢⎣
⎝ D0
⎠ ⎥⎦
(373)
onde σ x é a tensão axial de trefilação. Supondo σ 0 como o limite de escoamento médio do
material, para D = D f em (373) obtem-se σ x = σ f , onde σ f é a tensão total de trefilação, sendo
dada como:
162

B = µ . cotgα
fazendo r ( A0
− Af
) / A0
f
( 1+
B)
⎡ ⎛ D
= σ 0 ⎢1
− ⎜
B ⎢⎣
⎝ D
f
0
⎞
⎟
⎠
2B
σ (374)
= vem:
D f
D f
r = 1− ∴ = 1−
r
2
2
D
D
0
2
0
2
⎤
⎥
⎥⎦
(375)
substituindo (375) em (374), obtem-se a tensão de trefilação em função do coeficiente de redução
de área r, onde tem-se:
f
( 1+
B)
= σ 0
B
B [ 1−
( 1−
r)
]
σ (376)
Determinação da redução máxima na trefilação de fios:
A tensão de trefilação máxima que pode ser aplicada ao material em processo não deve
exceder σ 0 , limite de escoamento do produto, isto é:
substituindo (377) em (376), vem:
1−
1
( 1
−
r = 1/
B
( 1+
B)
σ ≤ σ
r B
)
f max 0
(377)
( 1+
B)
σ 0 = σ 0
B
1 ( 1 r) B
− − =
B [ 1−
( 1−
r)
]
B
( 1+
B)
B 1+
B − B 1
= 1−
= =
( 1+
B)
( 1+
B)
( 1+
B)
B [ 1−
r)
]
1/
B ⎡ 1 ⎤
( = ⎢
( 1 B)
⎥
⎣ + ⎦
r
max
1/
B
1
= 1−
( 1+
B)
1/
B
(378)
163