Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 97
Em particular, se A é uma matriz positiva definida, segue que A εI para algum ε (o menor autovalor de
A) e denotamos este fato por
A > 0.
4.8 Teorema. Seja A uma matriz simétrica positiva definida e seja A = B − C com B invertível. Então
o método iterativo linear com matriz de iteração R = B −1 C converge se e somente se B t + C é uma
matriz simétrica positiva definida.
Prova. Medimos a norma do erro através da norma induzida por A
|x| A := 〈Ax, x〉 1/2
e consideraremos a norma matricial · A induzida por esta norma. Se provarmos que
o método convergirá. Temos
R A < 1,
R 2
A =
B
−1 2
B C = sup A
x=0
−1Cx 2 A
|x| 2
−1 −1 t −t −1 AB Cx, B Cx C B AB Cx, x
= sup
= sup
. (4.34)
A
x=0 〈Ax, x〉
x=0 〈Ax, x〉
Suponha que B t + C é uma matriz simétrica, positiva definida. Temos
ou
C t B −t AB −1 C = B t − A B −t AB −1 (B − A) = I − AB −t A I − B −1 A
= A − AB −t A + AB −1 A − AB −t AB −1 A
= A − AB −t B + B t − A B −1 A
= A − B −1 A t B + B t − A B −1 A
C t B −t AB −1 C = A − B −1 A t B t + C B −1 A, (4.35)
de modo que C t B −t AB −1 C é uma matriz simétrica, positiva definida. Logo, por (4.34), mostrar que
R A < 1 é equivalente a provar que
C t B −t AB −1 C < A,
e por (4.35) C t B −t AB −1 C < A se e somente se B −1 A t (B t + C) B −1 A > 0, o que é verdade porque B t +C
é positiva definida.
4.3 Convergência dos Métodos Iterativos Lineares para as Matrizes
de Discretização
4.3.1 Convergência do Método de Jacobi
4.9 Teorema. Se A é uma matriz irredutível, diagonalmente dominante tal que |aii| > n
|aij| para pelo
menos alguma linha i, então o método de Jacobi converge.
Prova. Seja D a parte diagonal da matriz A e R = D −1 (D − A) = I − D −1 A a matriz de iteração do
método de Jacobi para A. Suponha por absurdo que exista um autovalor λ de R tal que |λ| 1. Como
λ det λ −1 R − I = det (R − λI) = 0, temos
det I − λ −1 R = 0.
j=1
j=i