Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 96
4.7 Corolário. Seja R a matriz de iteração de um método iterativo linear. Então a taxa assintótica de
convergência do método é dada por
Prova. Pois
R∞ (R) = − lim
k→∞ log 10
R∞ (R) = − log 10 ρ (R) . (4.31)
R k 1/k
= − log10 lim R k 1/k = − log10 ρ (R) .
A taxa assintótica de convergência mede o aumento no número de casas decimais corretas na solução por
iteração. De fato, usando a norma matricial do Lema 4.2 e medindo as normas dos vetores de acordo, temos
ek+1 |ek | =
Rk+1e0 |Rke0 R = ρ (R) + ε,
|
donde
ou
Assim, se
teremos
− log 10
e k+1
k→∞
|e k | = − log 10 ρ (R) + O (ε)
log e 10
k
− log e 10
k+1 = R∞ (R) + O (ε) . (4.32)
e k = O 10 −p ,
e k+1 = O 10 −q ,
q − p ≈ R∞ (R) ,
isto é, reduzimos R∞ (R) ≈ q − p casas decimais no erro. Visto de outra forma, como
ek+m |ek | =
Rk+me0 |Rke0 | Rm = ρ (R) m + O (ε) ,
donde
ou
− log 10
e k+m
|e k | ≈ −m log 10 ρ (R) ,
m = log
e 10
k+m / ek
log10 ρ (R)
é o número de iterações necessárias para diminuir o erro de um número prescrito de casas decimais.
4.2.3 Convergência para Matrizes Simétricas Positivas Definidas
(4.33)
Para matrizes reais simétricas positivas definidas é mais fácil provar a convergência dos métodos iterativos
lineares. Temos o seguinte resultado básico a seguir. Antes precisamos da seguinte definição:
Definição. Introduzimos uma ordenação parcial em Mn (C) definindo
se
para todo x ∈ C n .
A B
〈Ax, x〉 〈Bx, x〉