Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 95
e seja {v1, . . . , vn} uma correspondente base de autovetores. Escrevendo de novo
e 0 n
= aivi,
donde
segue que
e k = λ k 1
i=1
e k = R k e 0 =
a1x1 +
Como λi
λ1
n
i=1
aiλ k i vi,
n
k λi
ai vi
λ1
i=2
k
→ 0,
a taxa de convergência é determinada por |λ1| k . Para k grande, temos
e k ≈ λ k 1a1v1.
Portanto,
ek+1 |ek | = |λ1| = ρ (R) . (4.28)
Em outras palavras, a convergência é linear com taxa de convergência igual ao raio espectral. Se a1 =
0 a convergência será mais rápida, pois dependerá do módulo do segundo autovalor, mas é obviamente
extremamente raro que o chute inicial satisfaça esta condição. Para o caso geral, precisamos do seguinte
resultado:
4.6 Proposição. Seja A ∈ Mn (C) e · uma norma matricial. Então
ρ (A) = lim A k 1/k .
Prova. Como os autovalores da matriz A k são as k-ésimas potências dos autovalores de A, temos que
donde
Dado ε > 0, a matriz
ρ (A) k = ρ A k A k ,
ρ (A) A k 1/k .
B =
1
ρ (A) + ε A
tem raio espectral menor que 1, logo B k → 0. Portanto, existe algum N = N (ε, A) tal que
B k < 1
ou seja,
A k 1/k < ρ (A) + ε
para todo k > N.
Definimos a taxa média de convergência de um método iterativo linear com matriz de iteração R por
Rk (R) = − log R 10
k 1/k = − 1
k log
R 10
k (4.29)
e a taxa assintótica de convergência por
.
R∞ (R) = lim
k→∞ Rk (R) . (4.30)