Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 94
para t suficientemente grande. Portanto, fixado um tal t, se definirmos uma norma por
,
teremos
Pelo lema anterior, ρ (A) A.
A := DtUAU ∗ D −1
t = L U ∗ D −1−1
∗ −1
t AU Dt
L
A = DtUAU ∗ D −1
t
L = DtT D −1
t
ρ (A) + ε.
L
4.3 Lema. Seja A ∈ Mn (C). Se existe alguma norma matricial · tal que A < 1, então
Prova. Se A < 1, então
4.4 Proposição. Seja A ∈ Mn (C). Então
se e somente se
A k → 0.
A k A k → 0.
A k → 0
ρ (A) < 1.
Prova. Se existe algum autovalor λ de A tal que |λ| 1 e x é um autovetor não-nulo correspondente, então
A k x = λ k x
não converge para 0. Reciprocamente, se ρ (A) < 1, então pelo Lema 4.2 existe uma norma matricial · tal
que A < 1, logo A k → 0 pelo lema anterior.
4.5 Corolário. Seja R a matriz de iteração de um método iterativo linear. Então
se e somente se
e k → 0
ρ (R) < 1.
Em outras palavras, um método iterativo linear é convergente independentemente da escolha do chute
inicial se e somente se todos os autovalores da matriz de iteração têm valor absoluto menor que 1.
4.2.2 Velocidade de Convergência dos Métodos Iterativos Lineares
O raio espectral também dá informação sobre a velocidade de convergência. Se nós tivermos dois métodos
iterativos lineares diferentes, isto é, duas maneiras diferentes de decompor a matriz A:
A = B1 − C1 = B2 − C2,
então o segundo método convergirá mais rápido se e somente se
ρ (R2) < ρ (R1) .
Vamos analisar a velocidade de convergência dos métodos iterativos com maior precisão. Novamente à
título de motivação, suponha que A é uma matriz diagonalizável com seu maior autovalor sendo um autovalor
simples. Ordene os autovalores de A na forma
|λ1| > |λ2| . . . |λn|