Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 93
4.1 Lema. Se A ∈ Mn (C) e · é qualquer norma matricial, então
ρ (A) A .
Prova. Seja λ um autovalor qualquer de A e x um autovetor não-nulo correspondente a λ, de modo que
Ax = λx.
Considere a matriz X ∈ Mn (C) cujas colunas são todas iguais ao vetor x. Temos também
de modo que
donde
AX = λX
|λ| X = AX A X ,
|λ| A
para todo autovalor λ de A. Como existe um autovalor λ de A tal que ρ (A) = λ, isso prova o resultado.
4.2 Lema. Seja A ∈ Mn (C) e ε > 0 dado. Então existe uma norma matricial · tal que
ρ (A) A ρ (A) + ε. (4.27)
Prova. Toda matriz complexa é triangularizável através de uma matriz unitária (isto é, uma matriz U que
satisfaz U ∗ U = UU ∗ = I; sua inversa é a sua adjunta ou transposta conjugada). Sejam então
⎡
⎤
λ1 a12 a22 . . . a1n
⎢ λ2 a23 ⎢
. . . a2n ⎥
⎢
T =
λ3 ⎢
. . . a3n ⎥
⎢
⎣
. ..
. ⎥
. ⎦
uma matriz triangular e U uma matriz unitária tais que
Considere a matriz diagonal
Temos
DtT D −1
t
⎡
⎢
= ⎢
⎣
⎡
t
⎢
Dt = ⎢
⎣
A = U ∗ T U.
t 2
. ..
t n
λn
⎤
⎥
⎦ .
λ1 a12t −1 a22t −2 . . . . . . a1nt −n+1
λ2 a23t −1 . . . . . . a2nt −n+2
Logo, para t > 0 suficientemente grande, a matriz DtT D −1
t
λ3 . . . . . . a3nt −n+3
. ..
.
λn−1 an−1,nt −1
tem a propriedade que a soma dos valores
absolutos de elementos fora da diagonal principal é menor que ε. Em particular, se ·L denota a norma do
máximo das somas das linhas, podemos garantir que
DtT D −1
t ρ (A) + ε
L
λn
⎤
⎥ .
⎥
⎦