Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Capítulo 4
Métodos Iterativos para a Resolução
de Sistemas Lineares
Neste capítulo investigaremos métodos iterativos para a resolução de sistemas lineares
Ax = b.
Embora a matriz A que temos em mente é em geral uma matriz grande e esparsa, do tipo que aparece
em esquemas de diferenças finitas, os métodos considerados aqui requerem apenas que A seja uma matriz
invertível com todas as entradas diagonais aii não-nulas.
Métodos iterativos requerem um chute inicial x 0 , um vetor inicial que aproxima a solução exata x (se
não há nenhuma informação disponível sobre a solução exata, de modo que não temos como construir o
chute inicial de forma inteligente, x 0 pode ser uma aproximação muito ruim de x). Uma vez que x 0 é dado,
o método iterativo gera a partir de x 0 uma nova aproximação x 1 , que esperamos deve aproximar melhor a
solução exata. Em seguida, x 1 é usada para gerar uma nova melhor aproximação x 2 e assim por diante.
Desta forma, gera-se uma seqüência de vetores x k que espera-se convergir para x. Como na prática não
podemos iterar para sempre, algum critério de parada deve ser estabelecido a priori. Uma vez que x k esteja
suficientemente próximo da solução exata quanto se precise, de acordo com uma margem de tolerância aceita,
pára-se o processo de iteração e aceita-se x k como a solução aproximada adequada para o problema. Por
exemplo, o critério de parada pode ser estabelecido através de uma cota de tolerância τ: quando
b − Ax k < τ
ou quando x k+1 − x k < τ
as iterações são interrompidas e o último valor aproximado obtido é aceito como a melhor aproximação da
solução dentro das circunstâncias.
Os métodos discutidos neste capítulo não necessitam de um bom chute inicial (embora, é claro, quanto
melhor o chute inicial, menor o número de iterações necessárias para se chegar à solução aproximada com a
precisão especificada).
4.1 Métodos Iterativos Lineares
Nesta seção apresentamos alguns exemplos clássicos de métodos iterativos lineares. Na próxima seção daremos
condições necessárias e suficientes para estabelecer a sua convergência.
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