Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 83
Reciprocamente, suponha que (I + |A|) n−1 possui pelo menos uma entrada nula. Como
(I + |A|) n−1 = I +
n−1
m=1
n − 1
m
|A| m ,
(I + |A|) n−1
não possui entradas diagonais nulas, logo podemos assumir que para algum par i = j temos
(I + |A|) n−1
= 0, o que implica [|A| m ] ij = 0 para todo 1 m n − 1. Pelo Teorema 3.11 (e observação
ij
imediatamente posterior à definição de grafo direcionado), não existe um caminho direcionado em Γ (A) de
comprimento finito entre Pi e Pj. Defina os conjuntos de nodos
S1 := {Pk : Pk = Pj ou existe um caminho direcionado em Γ (A) entre Pk e Pj} ,
S2 = [ nodos de Γ (A)] \S1.
Por definição destes conjuntos, não pode existir nenhum caminho de algum nodo de S2 para algum nodo de
S1, logo [|A| m ] lk = 0 se Pl ∈ S2 e Pk ∈ S1. E ambos os conjuntos são não-vazios, pois Pj ∈ S1 e Pi ∈ S2.
Renomeando os nodos de modo que
S1 = P1, . . . ,
Pm ,
S2 = Pm+1, . . . ,
Pn ,
segue que existe uma matriz de permutação P tal que
P t
B C
AP =
0 D
De fato, P é justamente a matriz de permutação que troca as colunas de tal forma que as variáveis anteriores
correspondentes aos nodos P1, . . . , Pm no sistema Ax = b são as novas m primeiras variáveis do sistema linear
Ax = b; como não existe nenhum caminho direcionado entre nenhum dos nodos Pm+1, . . . , Pn e qualquer um
dos nodos P1, . . . , Pm, temos aij = 0 para m + 1 i n e 1 j m pelo Teorema 3.11.
3.15 Corolário. Uma matriz A ∈ Mn (C) é irredutível se e somente se ela satisfaz a propriedade FC.
3.16 Proposição. Se A é uma matriz irredutível, diagonalmente dominante tal que |aii| > n
|aij| para
pelo menos alguma linha i, então A é invertível.
Além disso, se A é hermitiana e todos os elementos da diagonal principal de A são positivos, então
todos os autovalores de A são positivos.
Prova. O resultado segue do Teorema 3.14, do Corolário 3.9 e do Teorema dos Discos de Gershgorin (veja
comentários após o Teorema 3.2).
3.6 Invertibilidade de Matrizes de Discretização
Os resultados obtidos nas seções anteriores fornecem uma demonstração alternativa de que as matrizes
de discretização do capítulo anterior (tanto no caso unidimensional, quanto no caso bidimensional) são
invertíveis, sem a necessidade de se calcular os seus autovalores.
.
j=1
j=i