Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 82
Da definição vemos que se |A| > 0, então A é irredutível, e para que A seja redutível, ela precisa ter pelo
menos n − 1 zeros (caso m = 1). A motivação para este nome é a seguinte. Suponha que queiramos resolver
o sistema Ax = b e que A seja redutível. Então, se escrevermos
A = P t AP =
B C
0 D
teremos Ax = P AP t x = b ou AP t x = P t b; denotando x = P t x e b = P t b, resolver o sistema Ax = b é então
equivalente a resolver o sistema
Ax = b.
Escrevendo
x =
y
z
b1
, b =
b2
onde y, b1 ∈ C m e z, b2 ∈ C n−m , este sistema é por sua vez equivalente ao sistema
By + Cz = b1
Dz = b2
Se resolvermos primeiro Dz = b2 e utilizarmos o valor de z encontrado na primeira equação resolvendo
By = b1 − Cz, teremos reduzido o problema original a dois problemas menores, mais fáceis de resolver.
3.14 Teorema. Uma matriz A ∈ Mn (C) é irredutível se e somente se
ou, equivalentemente, se e somente se
(I + |A|) n−1 > 0
,
[I + M (A)] n−1 > 0.
Prova. Para provar o resultado, mostraremos que A é redutível se e somente se (I + |A|) n−1 possui pelo
menos uma entrada nula.
Assuma primeiramente que A é redutível, de modo que para alguma matriz de permutação P tenhamos
Observe que
A = P
B C
0 D
P t =: P AP t .
|A| = P AP t = P A P t ,
já que o efeito de P é apenas trocar linhas e colunas. Além disso, note que
A k
k B
=
0
Ck
Dk
para alguma matriz Ck. Logo, como
(I + |A|) n−1 = I + P A t
P n−1 n−1 = P I + A t
P
n − 1
= P I + (n − 1) |A| + |A|
2
2
n − 1
+ . . . + |A|
n − 3
n−1 + |A| n−1
P t
e todos os termos dentro dos colchetes são matrizes que tem um bloco (n − m) × m nulo no canto esquerdo
inferior, segue que (I + |A|) n−1 é redutível, logo possui entradas nulas e não pode ser positiva.