Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 81
se e somente se para cada par de índices i, j com i = j pelo menos um dos termos |A| , |A| 2 , . . . , |A| n−1
tem uma entrada positiva em (i, j). Pelo Teorema 3.11, isso ocorre se e somente se existe algum caminho
direcionado em Γ (A) de Pi para Pj com comprimento n−1. Isto é equivalente a A satisfazer a propriedade
FC. O mesmo argumento vale para M (A).
Em geral, a maneira como uma matriz foi obtida (como as nossas matrizes de discretização; veja a última
seção do capítulo) torna clara se elas são matrizes que satisfazem a propriedade FC ou não. Se isso
não é possível, e pretende-se verificar a propriedade FC através do Corolário 3.13, é preferível calcular
[I + M (A)] n−1 , já que M (A) é uma matriz composta apenas de 0’s e 1’s.
3.5 Matrizes Irredutíveis
Lembre-se que uma matriz de permutação P é uma matriz quadrada cujas entradas são todas 0 ou 1 e,
além disso, em cada linha e em cada coluna de P existe exatamente um 1. Em particular, P é uma matriz
ortogonal, de modo que P −1 = P t , isto é, a inversa de P também é uma matriz de permutação. Um caso
especial de uma matriz de permutação é uma matriz de transposição, que é uma matriz de permutação T
igual à matriz identidade exceto em duas posições, isto é, para algum par de índices fixado k, l temos
⎧
⎨ δij se (i, j) = (k, l) , (l, k) , (k, k) ou (l, l) ,
Tij = 1 e (i, j) = (k, l) ou se (i, j) = (l, k) ,
⎩
0 se (i, j) = (k, k) ou se (i, j) = (l, l) .
Matrizes de transposição são simétricas. O efeito de multiplicar uma matriz A por uma matriz de transposição
à esquerda é trocar a posição de duas linhas da matriz A (no caso acima, as linhas k e l), enquanto que a
multiplicação de A por uma matriz de transposição à direita muda a posição de duas colunas de A (no caso
acima, as colunas k e l).
T A =
AT =
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
⎤
⎡
⎥
⎦ =
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎣
a11 a12 a13 a14
a31 a32 a33 a34
a21 a22 a23 a24
a41 a42 a43 a44
a11 a13 a12 a14
a21 a23 a22 a24
a31 a33 a32 a34
a41 a43 a42 a44
Pode-se provar que toda matriz de permutação P é o produto de matrizes de transposição P = T1 . . . Tm;
em particular, P t = Tm . . . T1. A matriz
P t AP = Tm . . . T1AT1 . . . Tm
é portanto obtida através da permutação de linhas e colunas de A, de modo que nenhum novo elemento é
criado ou algum elemento existente de A destruído.
Definição. Dizemos que uma matriz A ∈ Mn (C) é redutível se existe alguma matriz de permutação P e
algum inteiro 1 m n − 1 tal que
P t
B
AP =
0
C
D
onde B é uma matriz m × m, D é uma matriz (n − m) × (n − m), C é uma matriz m × (n − m) e 0 é
a matriz nula (n − m) × m. Caso contrário, dizemos que A é irredutível.
⎤
⎥
⎦ ,
⎤
⎥
⎦ .