Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 80
3.10 Teorema. A ∈ Mn (C) satisfaz a propriedade FC se e somente se Γ (A) é fortemente conexo.
Verificar a propriedade FC a partir do grafo direcionado de A pode ser impraticável se o tamanho da
matriz for muito grande. Existe um método computacional mais explícito para fazê-lo:
3.11 Teorema. Sejam A ∈ Mn (C) e Pi, Pj nodos de Γ (A). Existe um caminho direcionado de comprimento
m em Γ (A) de Pi para Pj se e somente se
ou, equivalentemente, se e somente se
(|A| m ) ij = 0
[M (A) m ] ij = 0.
Prova. Provaremos o teorema por indução. Para m = 1 a afirmativa é trivial. Para m = 2, temos
de modo que
|A| 2
ij
|A| 2
ij
=
n
k=1
(|A|) ik (|A|) kj =
n
k=1
|aik| |akj| ,
= 0 se e somente se aik, akj são ambos não-nulos para algum índice k. Mas isso é
equivalente a dizer que existe um caminho direcionado de comprimento 2 em Γ (A) de Pi para Pj.
Em geral, supondo a afirmativa provada para m, temos
|A| m+1
ij
=
n
k=1
(|A| m ) ik (|A|) kj =
n
(|A| m ) ik
|akj| = 0
se e somente se (|A| m ) ik , akj são ambos não-nulos para algum índice k. Por hipótese de indução, isso é
equivalente a existir um caminho direcionado de comprimento m em Γ (A) de Pi para Pk e um caminho
direcionado de comprimento 1 em Γ (A) de Pk para Pj, isto é, um caminho direcionado de comprimento
m + 1 em Γ (A) de Pi para Pj. O mesmo argumento vale para M (A).
Definição. Seja A = (aij) ∈ Mn (C). Dizemos que A 0 se aij 0 para todos 1 i, j n e que A > 0 se
aij > 0 para todos 1 i, j n.
3.12 Corolário. Seja A ∈ Mn (C). Existe um caminho direcionado de comprimento m em Γ (A) de cada
nodo Pi para cada nodo Pj se e somente se
ou, equivalentemente, se e somente se
|A| m > 0
M (A) m > 0.
3.13 Corolário. Seja A ∈ Mn (C). A satisfaz a propriedade FC se e somente se
ou, equivalentemente, se e somente se
k=1
(I + |A|) n−1 > 0
[I + M (A)] n−1 > 0.
Prova. Temos
(I + |A|) n−1
n − 1
= I + (n − 1) |A| + |A|
2
2
n − 1
+ . . . + |A|
n − 3
n−1 + |A| n−1 > 0