Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 79
Prova. Seja x = (x1, . . . , xn) = 0 um autovetor associado a λ e i um índice tal que
Pelo Lema 3.5,
|xi| |xk| para k = 1, . . . , n.
|λ − aii| = Ri (A) .
Seja j = i qualquer outro índice e i1 = i, i2, i3, . . . , im−1, im = j, com 1 m n, índices tais que todas as
entradas matriciais
aii2, ai2i3, . . . , aim−1j = 0.
Como aii2 = 0, segue da segunda afirmativa do Lema 3.5 que |xi2| = |xi|. Mas então ai2i3 = 0 e portanto
|xi3| = |xi2| = |xi|. Prosseguindo desta forma, concluímos que
|xi| = |xi2| = . . .
xim−1
= |xj| .
Em particular, segue novamente do Lema 3.5 que o j-ésimo círculo de Gershgorin passa por λ. Como j é
arbitrário, isso prova o teorema.
3.9 Corolário. Se A ∈ Mn (C) é uma matriz que satisfaz a propriedade FC e diagonalmente dominante tal
que |aii| > n
|aij| para pelo menos alguma linha i, então A é invertível.
j=1
j=i
Prova. Segue do teorema anterior da mesma forma que o Corolário 3.7 segue do Teorema 3.6.
Vamos tentar entender melhor o significado da propriedade FC. Note que ela se refere apenas à localização
dos elementos não-nulos de A fora da diagonal principal – os elementos da diagonal principal e os valores
específicos dos elementos fora da diagonal principal são irrelevantes. Isso motiva as seguintes definições:
Definição. Dada uma matriz A = (aij) ∈ Mn (C) definimos o módulo da matriz A como sendo a matriz
|A| = (|aij|)
cujos elementos são os módulos dos elementos da matriz A e a matriz indicadora de A como sendo
a matriz
M (A) = (µij) ,
onde
µij =
1 se aij = 0,
0 se aij = 0.
O conceito de uma seqüência de entradas não-nulas da matriz A que aparece na definição da propriedade
FC pode ser visualizado em termos de caminhos em um grafo associado a A:
Definição. Dada uma matriz A ∈ Mn (C), o grafo direcionado de A é o grafo direcionado Γ (A) com n
nodos P1, . . . , Pn tais que existe um arco direcionado em Γ (A) de Pi a Pj se e somente se aij = 0.
Um caminho direcionado γ em um grafo Γ é uma seqüência de arcos Pi1Pi2, Pi2Pi3, . . . em Γ. O
comprimento de um caminho direcionado é o número de arcos sucessivos no caminho direcionado. Um
ciclo é um caminho direcionado que começa e termina no mesmo nó.
Dizemos que um grafo direcionado é fortemente conexo se entre qualquer par de nodos distintos
Pi, Pj ∈ Γ existir um caminho direcionado de comprimento finito que começa em Pi e termina em Pj.
Observe que quando Γ é um grafo direcionado com n nodos, se existe um caminho direcionado entre dois
nodos de Γ, então sempre existe um caminho direcionado entre estes dois nodos de comprimento menor que
ou igual a n − 1.