Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 7
espectros de Dirichlet e de Neumann. Os contra-exemplos que eles obtiveram têm o formato de uma região
poligonal, não-convexa, e o método permite a obtenção de uma larga coleção de contra-exemplos. Os
primeiros 54 autovalores do primeiro contra-exemplo de Gordon, Webb e Wolpert, que ficou conhecido como
os tambores GWW, foram encontrados experimentalmente por Sridhar e Kudrolli [Sridhar-Kudrolli]; eles
construíram cavidades de microondas com o formato da região poligonal e mediram ressonâncias em ondas
magnéticas transversais, que obedecem a equação de Helmoltz. Posteriormente, vários autores calcularam
autovalores e autofunções dos tambores GWW através de métodos numéricos; veja [Driscoll], [Heuveline] e
as referências nestes artigos.
Uma demonstração mais simples e versátil do resultado de Gordon, Webb e Wolpert, foi dada por Berard
[Berard2], usando a chamada técnica de transplantação de autofunções, introduzida pelo próprio [Berard1].
Os domínios são construídos a partir de translações, rotações e reflexões de uma única forma, tal como um
triângulo, sem sobreposições. Dada uma autofunção em um domínio, pode-se prescrever uma função sobre
o outro domínio cujos valores sobre cada parte são combinações lineares dos valores da autofunção sobre
várias das partes do primeiro domínio. As combinações são escolhidas de modo a satisfazer as condições
de fronteira e igualar valores da função e suas derivadas nas interfaces entre as partes. O resultado é uma
autofunção na segunda região tendo o mesmo autovalor. Para completar a prova de isospectralidade, basta
mostrar que o procedimento é invertível. Usando esta técnica, Chapman [Chapman] obteve alguns exemplos
que podem ser explicados em nível elementar através de dobraduras de papel e até mesmo um exemplo onde
os autovalores do laplaciano podem ser calculados explicitamente (este exemplo consiste de dois domínios
cada um com duas componentes conexas, um retângulo e um triângulo isósceles reto; veja Exemplo 4 na
próxima seção).
Todos os contra-exemplos dados nas referências acima são de domínios não-convexos ou com quinas.
Watanabe ([Wat1], [Wat2]) determinou a existência de uma classe não-enumerável de domínios suaves que
não é um disco (incluindo exemplos convexos e não-convexos) que são determinados pelos espectros de Dirichlet
ou de Neumann do laplaciano. Outros exemplos de domínios determinados pelo espectro do laplaciano,
com a propriedade adicional de serem analíticos reais e simétricos com respeito a reflexões em relação a um
eixo horizontal e a um eixo vertical, foram dados por Zelditch [Zelditch]. A identificação de todas as classes
de domínios que são determinados pelo espectro do laplaciano é um problema em aberto.
1.2 Exemplos
Exemplo 1. Os autovalores do laplaciano para o problema de Dirichlet no caso unidimensional
−u ′′ = λu em [0, L] ,
são
As autofunções correspondentes são
u (0) = u (L) = 0,
λn = n2π2 , n ∈ N.
L2 un (x) = sen nπx
L .
Exemplo 2. Os autovalores do laplaciano para o problema de Dirichlet no retângulo R = [0, a] × [0, b] ⊂ R 2
são
− (uxx + uyy) = λu em R,
u = 0 sobre ∂R,
λnm = π 2
2 n m2
+
a2 b2
, n, m ∈ N.