Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 78
donde
n
|aij| (|xi| − |xj|) = 0.
j=1
j=k
Esta é uma soma de termos não-negativos, pois |xi| |xj|, logo se aij = 0 necessariamente devemos ter
|xj| = |xi| = |xk|.
Este lema técnico tem as seguintes conseqüências úteis:
3.6 Teorema. Seja A ∈ Mn (C) uma matriz cujas entradas são todas não-nulas e seja λ um autovalor de
A que não é um ponto interior de nenhum disco de Gershgorin. Então todo círculo de Gershgorin
de A passa por λ (isto é, λ está na interseção de todos os círculos de Gershgorin de A) e se x =
(x1, . . . , xn) = 0 é um autovetor associado a λ então
Prova. Decorre diretamente do lema anterior.
|xi| = |xj| para todos i, j = 1, . . . , n.
3.7 Corolário. Se A ∈ Mn (C) é uma matriz cujas entradas são todas não-nulas e diagonalmente dominante
tal que |aii| > n
|aij| para pelo menos alguma linha i, então A é invertível.
j=1
j=i
Prova. Pois, como A é diagonalmente dominante, se 0 é um autovalor de A então 0 não pode ser um ponto
interior de nenhum disco de Gershgorin. Por outro lado, pelo teorema anterior, segue que todo círculo de
Gershgorin passa por 0. Entretanto, o i-ésimo círculo de Gershgorin centrado em aii e com raio Ri < |aii|
não pode passar por 0. Concluímos que 0 não é um autovalor de A, logo A é invertível.
Na verdade, usando com maior cuidado a informação dada pelo Lema 3.5 podemos obter resultados ainda
melhores:
Definição. Dizemos que uma matriz A = (aij) ∈ Mn (C) satisfaz a propriedade FC se para todo par de
inteiros distintos i, j existe uma seqüência de inteiros distintos i1 = i, i2, i3, . . . , im−1, im = j, com
1 m n, tais que todas as entradas matriciais
são não-nulas.
ai1i2 , ai2i3 , . . . , aim−1im
Por exemplo, a matriz diagonalmente dominante não-invertível
⎡
4
⎣ 0
2
1
1
1
⎤
⎦ ,
0 1 1
já vista anteriormente, não satisfaz a propriedade FC porque o par 2, 1 não admite tal seqüência (a única
seqüência possível é a23, a31). Já qualquer par de inteiros distintos i, j tal que aij = 0 admite a seqüência
trivial não-nula aij, de modo que uma matriz cujas entradas não-diagonais são todas não-nulas satisfaz a
propriedade FC. O significado da abreviatura “FC”, ou “fortemente conexo”, ficará claro mais adiante.
3.8 Teorema. Seja A ∈ Mn (C) uma matriz que satisfaz a propriedade FC e seja λ um autovalor de A que
não é um ponto interior de nenhum disco de Gershgorin. Então todo círculo de Gershgorin de A passa
por λ (isto é, λ está na interseção de todos os círculos de Gershgorin de A) e se x = (x1, . . . , xn) = 0
é um autovetor associado a λ então
|xi| = |xj| para todos i, j = 1, . . . , n.