Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 77
para algum i. Se 0 é um autovalor de A interior a algum disco de Gershgorin, então
|aii| <
n
j=1
j=i
para algum i e A não pode ser diagonalmente dominante na linha i.
Uma condição equivalente para que um autovalor λ de A não seja um ponto interior de nenhum disco de
Gershgorin é que
n
|λ − aii| Ri (A) = |aij| para todo i = 1, . . . , n.
j=1
j=i
Tais pontos λ na região de Gershgorin G (A) (não necessariamente autovalores de A) constituem precisamente
a fronteira ∂G (A) da região de Gershgorin. Chamaremos a fronteira de um disco de Gershgorin
{z ∈ C : |z − aii| = Ri (A)} um círculo de Gershgorin.
3.5 Lema. Seja A ∈ Mn (C) e λ um autovalor de A que não é um ponto interior de nenhum disco de
Gershgorin. Seja x = (x1, . . . , xn) = 0 um autovetor associado a λ e k um índice tal que
Se i é qualquer índice tal que
|aij|
|xk| |xj| para j = 1, . . . , n.
|xi| = |xk|
então o i-ésimo círculo de Gershgorin passa por λ. Se, além disso,
então
aij = 0,
|xj| = |xk|
e o j-ésimo círculo de Gershgorin também passa por λ.
Prova. Como na demonstração do Teorema de Gershgorin, temos
|xi| |λ − aii|
n
n
n
|aijxj| = |aij| |xj| |xk| |aij| = |xk| Ri (A) (3.15)
j=1
j=k
para todo índice i. Logo, se |xi| = |xk|, temos
Como por hipótese
para todo índice i, segue que
j=1
j=k
|λ − aii| Ri (A) .
|λ − aii| Ri (A)
|λ − aii| = Ri (A) .
Em geral, |xi| = |xk| implica que as desigualdades em (3.15) são identidades; em particular,
n
n
|aij| |xj| = |xi|
j=1
j=k
j=1
j=k
|aij|
j=1
j=k