Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 76
de uma matriz. Por exemplo, como A e A t possuem os mesmos autovalores, existe um teorema dos discos
de Gershgorin equivalente para as colunas de uma matriz. Em particular, todos os autovalores de A estão
localizados na interseção destas duas regiões: G (A) ∩ G (A t ). Isso implica a seguinte estimativa simples para
o raio espectral de uma matriz complexa:
3.3 Corolário. Se A ∈ Mn (C), então
⎛
ρ (A) min ⎝ max
i=1,...,n
j=1
n
|aij| , max
n
|aij|
j=1,...,n
i=1
⎞
⎠ = min (A L , A C ) .
Prova. O ponto no i-ésimo disco de Gershgorin que é mais distante da origem tem módulo
n
|aii| + Ri (A) =
e um resultado semelhante vale para as colunas de A.
O resultado do Corolário 3.3 não é surpreendente em vista do raio espectral de uma matriz ser menor que
qualquer norma matricial (veja o próximo capítulo). Um resultado melhor pode ser obtido uma vez que
se observa que A e S−1AS também possuem os mesmos autovalores, qualquer que seja a matriz invertível
S. Em particular, quando S = D = diag (p1, . . . , pn) é uma matriz diagonal com todos os seus elementos
positivos, isto é, pi > 0 para todo i, aplicando o Teorema de Gershgorin à matriz
D −1 AD =
e à sua transposta, obtemos o seguinte resultado que permite obter uma estimativa arbitrariamente boa dos
autovalores de A:
pj
j=1
aij
pi
3.4 Corolário. Se A ∈ Mn (C) e p1, . . . , pn > 0, então todos os autovalores de A estão contidos em
Em particular,
G D −1 AD ∩ G DA t D −1 =
ρ (A) min
3.4 Propriedade FC
p1,...,pn>0
⎛
∩
⎝ max
i=1,...,n
n
i=1
n
i=1
1
⎧
⎪⎨
|aij|
z ∈ C : |z − aii|
⎪⎩
1
pi
⎧
⎪⎨
⎪⎩ z ∈ C : |z − aii| pj
n
n
n
j=1
j=i
n
i=1
i=j
pj |aij|
1
|aij|
pi
pj |aij| , max
pi
j=1,...,n
j=1
pj |aij|
pi
i=1
1
⎞
⎫
⎪⎬
⎪⎭
⎫
⎪⎬
⎪⎭ .
(3.13)
⎠ . (3.14)
Na nossa busca por propriedades para matrizes diagonalmente dominantes que garantirão a sua invertibilidade,
uma observação fundamental é a de que se A é uma matriz diagonalmente dominante, então 0 não
pode ser um ponto interior de nenhum disco de Gershgorin. De fato, se λ é um autovalor de A interior a
algum disco de Gershgorin então devemos ter desigualdade estrita
n
|λ − aii| < Ri (A) = |aij|
j=1
j=i