Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 75
obtemos que Gk (A) possui pelo menos k autovalores de A. Da mesma forma, não pode haver mais que
k autovalores de A em Gk (A), pois os n − k autovalores restantes de A0 = D começam fora do conjunto
Gk (A) e seguem caminhos contínuos que permanecem fora de Gk (A).
A união G (A) dos discos de Gershgorin é conhecida como a região de Gershgorin. Observe que enquanto
não podemos em geral afirmar com certeza que cada disco de Gershgorin possui um autovalor, a segunda
afirmação do teorema permite-nos fazer tal conclusão desde que os discos de Gershgorin sejam dois a dois
disjuntos.
O Teorema dos Discos de Gershgorin permite entender o resultado da Proposição 3.1: se uma matriz A é
estritamente diagonalmente dominante, então os discos de Gershgorin D Ri(A) (aii) não interceptam a origem,
logo 0 não pode ser um autovalor para a matriz A, o que implica que A é invertível. Além disso, se todos
os elementos da diagonal principal de A são reais e positivos, então os autovalores de A estão localizados no
semiplano direito de C, de modo que se A é também simétrica, concluímos que todos os autovalores de A
são positivos.
A aplicação mais óbvia do Teorema dos Discos de Gershgorin é na estimativa dos autovalores de uma
matriz, o que é importante se vamos usar os autovalores de matrizes de discretização para aproximar os
autovalores do laplaciano:
Aplicação 1. Pelo Teorema dos Discos de Gershgorin, os autovalores da matriz de discretização do laplaciano
no intervalo (0, π) discretizado com n + 1 pontos (esquema de diferenças finitas centradas para
a derivada segunda unidimensional)
⎡
2 −1
⎤
⎢
−1 2 −1
⎥
A = n2
π 2
⎢
⎣
−1
. ..
. ..
. ..
. .. −1
−1 2 −1
−1 2
estão todos localizados no intervalo (A é simétrica, logo seus autovalores são todos reais) centrado em
x = 2n 2 /π 2 de raio 2n 2 /π 2 , ou seja, no intervalo 0, 4n 2 /π 2 . Em particular o maior autovalor de A
não pode exceder 4n 2 /π 2 . Como os autovalores do laplaciano neste intervalo são da forma λj = j 2 ,
para termos esperança em aproximar o autovalor λj por autovalores da matriz A precisamos que
j 2 4n 2 /π 2 , isto é, precisamos discretizar o intervalo (0, π) com
n π
2 j
pontos. Isso dá uma estimativa bastante grosseira do quão refinada a nossa malha precisa ser para
aproximar os autovalores do laplaciano. Na prática, vimos que apenas os primeiros autovalores de
A aproximam bem os primeiros autovalores do laplaciano e portanto precisamos de uma malha com
um número muito maior de pontos. Observe que uma estimativa semelhante vale para a matriz de
discretização M fornecida pela fórmula de cinco pontos no quadrado (0, π) 2 quando tomamos ∆x =
∆y = π/n: como os autovalores de M estão localizados no intervalo de centro em x = 4n 2 /π 2 de raio
4n 2 /π 2 , isto é, em 0, 8n 2 /π 2 , precisamos de
n π
2 √
i2 + j2 2
pontos no eixos horizontal e vertical para aproximar o autovalor i 2 + j 2 . Por outro lado, no caso
bidimensional isso implica em uma matriz de discretização da ordem de i 2 + j 2 .
Usos mais refinados do Teorema de Gershgorin permitem obter conhecimento mais preciso sobre onde
os autovalores da matriz se encontram e correspondentemente melhores estimativas para o raio espectral
⎥
⎦