Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 74
Além disso, se uma união de k destes discos forma uma região que é disjunta dos n−k discos restantes,
então existem exatamente k autovalores de A nesta região.
Prova. Seja λ um autovalor de A e x = (x1, . . . , xn) = 0 um autovetor associado. Seja k um índice tal que
|xk| |xj| para j = 1, . . . , n,
isto é, xk é a coordenada de x de maior valor absoluto. Denotando por (Ax) k a k-ésima coordenada do vetor
Ax = λx, temos
n
λxk = (Ax) k =
que é equivalente a
Daí,
ou seja,
|xk| |λ − akk|
j=1
j=k
xk (λ − akk) =
j=1
j=k
j=1
n
j=1
j=k
akjxj
akjxj.
n
n
n
|akjxj| = |akj| |xj| |xk| |akj| = |xk| Rk (A) ,
|λ − akk| Rk (A) .
Isso prova o resultado principal do Teorema de Gershgorin (como não sabemos qual k é apropriado para
cada autovalor λ, e um mesmo k pode servir para vários autovalores λ, tudo o que podemos afirmar é que
os autovalores estão na união dos discos).
Para provar a segunda afirmação, escreva A = D + B, onde D = diag (a11, . . . , ann) e defina
para 0 t 1. Note que
At = D + tB
j=1
j=k
Ri (At) = Ri (tB) = tRi (A) .
Para simplificar a notação, assuma que a união dos primeiros k discos de Gershgorin
satisfaz Gk (A) ∩ [G (A) \Gk (A)] = ∅. Temos
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e
Gk (A) =
k
i=1
D Ri(A) (aii)
D Ri(At) (aii) = {z ∈ C : |z − aii| Ri (At)} = {z ∈ C : |z − aii| tRi (A)} ⊂ D Ri(A) (aii) ,
Gk (At) ⊂ Gk (A)
Gk (A) ∩ [G (At) \Gk (At)] = ∅
para 0 t 1. Porque os autovalores são funções contínuas das entradas de uma matriz, o caminho
λi (t) = λi (At)
é um caminho contínuo que liga λi (A0) = λi (D) = aii a λi (A1) = λi (A). Como λi (At) ∈ Gk (At) ⊂ Gk (A),
concluímos que para cada 0 t 1 existem k autovalores de At em Gk (A); em particular, fazendo t = 1,