Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 72
De fato, A ∗ A é uma matriz hermitiana e possui autovalores não-negativos, pois se A ∗ Ay = λy, então
λ |y| 2
2 = 〈y, λy〉 2 = 〈y, A∗Ay〉 2 = 〈Ay, Ay〉 2 = |Ay| 2
2
e, além disso, pela caracterização variacional dos autovalores de uma matriz hermitiana temos
λmax = max
x=0
〈A ∗ Ax, x〉 2
|x| 2
2
= max
x=0
|Ax| 2
2
|x| 2
2
Observe que a 2-norma é diferente da norma matricial l2. Note também que se A é uma matriz
hermitiana, então A ∗ A = A 2 e |A| 2 é portanto o módulo do maior autovalor de A, isto é, a norma
espectral de A é o raio espectral de A, definido como sendo o maior valor absoluto dos autovalores
de A:
ρ (A) = max
i=1,...,n |λi| ,
8. Norma induzida por uma matriz invertível
Se · é uma norma matricial qualquer e se S é uma matriz invertível, então
define uma norma matricial. Com efeito,
.
A S = S −1 AS (3.9)
AB S = S −1 ABS = S −1 ASS −1 BS S −1 AS S −1 BS = A S B S .
Lembramos que todas as normas em um espaço vetorial são equivalentes, e isso vale em particular para
normas matriciais.
3.2 Matrizes Diagonalmente Dominantes
Definição. Dizemos que uma matriz An×n é diagonalmente dominante se
|aii|
n
|aij| para todo i = 1, . . . , n
j=1
j=i
e estritamente diagonalmente dominante se
|aii| >
n
|aij| para todo i = 1, . . . , n.
j=1
j=i
3.1 Proposição. Se A é uma matriz estritamente diagonalmente dominante, então A é invertível.
Prova. Uma matriz A é invertível se existe alguma norma matricial · tal que I − A < 1. De fato, se
esta condição é satisfeita, então a inversa é dada explicitamente pela série
A −1 =
∞
(I − A) k . (3.10)
k=0
A condição I − A < 1 garante a convergência desta série, pois a série geométrica ∞
k=0 rk tem raio de
convergência 1; como para todo N temos
N
A (I − A) k N
= [I − (I − A)] (I − A) k N
= (I − A) k N+1
− (I − A) k = I − (I − A) N+1 ,
k=0
k=0
k=0
k=1