Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG
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Capítulo 3 Existência e Unicidade de Soluções Discretas Determinar a existência e unicidade de soluções discretas para as matrizes de discretização obtidas via esquemas de diferenças finitas através do cálculo de seus autovalores como fizemos no capítulo anterior para diferenças centradas em uma dimensão e para a fórmula de cinco pontos é inviável em geral (tente calcular os autovalores da matriz de discretização para a fórmula dos nove pontos, para o esquema em coordenadas polares e para o esquema de Shortley-Weller). Neste capítulo, desenvolveremos métodos mais gerais e mais fáceis de aplicar. 3.1 Normas Matriciais Uma norma matricial no espaço vetorial Mn (C) das matrizes complexas n × n é uma norma vetorial que satisfaz a propriedade submultiplicativa AB A B (3.1) para todas as matrizes A, B ∈ Mn (C). Algumas das normas mais importantes em Mn (C) são as seguintes: 1. Norma l1 De fato, AB 1 = 2. Norma l2 Com efeito, AB 2 2 = n n i,j=1 n n i,j=1 k=1 k=1 aikbkj aikbkj 2 n i,j,k=1 n n i,j=1 A 1 = |aikbkj| ⎛ A2 = ⎝ k=1 |aik| 2 n |aij| . (3.2) i,j=1 n i,j,k,l=1 n i,j=1 n 69 l=1 |aij| 2 |blj| 2 |aikblj| = ⎞ ⎠ 1/2 = ⎝ n i,j=1 |aik| n |blj| = A1 B1 . k,l=1 . (3.3) ⎛ n i,k=1 |aik| 2 ⎞ ⎛ ⎠ ⎝ n j,l=1 |blj| 2 ⎞ ⎠ = A 2 2 B2 2 .
Rodney Josué Biezuner 70 A norma l2 também é chamada norma euclidiana e, mais raramente e somente para matrizes, norma de Schur, norma de Frobenius ou norma de Hilbert-Schmidt. 3. Norma l∞ modificada A norma l∞ A ∞ = max 1i,jn |aij| . é uma norma vetorial no espaço das matrizes complexas, mas não é uma norma matricial, pois se então A = A 2 = 1 1 1 1 2 2 2 2 e portanto A 2 ∞ = 2 > 1 = A ∞ A ∞ . Mas um múltiplo escalar desta norma vetorial é uma norma matricial: Com efeito, 4. Norma induzida AB n∞ = n max n aikbkj 1i,jn 1i,jn k=1 k=1 = n A∞ n B∞ = ABn∞ . , A n∞ = n max 1i,jn |aij| . (3.4) n max n |aikbkj| n max n A 1i,jn ∞ B∞ k=1 Dada uma norma vetorial |·| em C n , ela induz uma norma matricial através da definição De fato, AB = max x=0 |ABx| |x| = max x=0 |ABx| |Bx| A = max |Ax| = max |x|=1 x=0 |Ax| . (3.5) |x| |Bx| |ABx| max |x| x=0 |Bx| max |Bx| |Ay| max x=0 |x| y=0 |y| max |Bx| = A B . x=0 |x| Esta norma também é chamada norma do operador. Ela satisfaz a propriedade muitas vezes útil para todo vetor x ∈ C n . 5. Norma do máximo das somas das linhas |Ax| A |x| (3.6) A L = max 1in j=1 n |aij| . (3.7) Esta norma é induzida pela norma vetorial l∞. De fato, se x = (x1, . . . , xn), temos n n n |Ax| ∞ = max aijxj 1in max |aijxj| max 1in 1in j=1 j=1 j=1 |aij| |x| ∞ = A L |x| ∞ ,
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Rodney Josué Biezuner 70<br />
A norma l2 também é chamada norma euclidiana e, mais raramente e somente para matrizes, norma<br />
<strong>de</strong> Schur, norma <strong>de</strong> Frobenius ou norma <strong>de</strong> Hilbert-Schmidt.<br />
3. Norma l∞ modificada<br />
A norma l∞<br />
A ∞ = max<br />
1i,jn |aij| .<br />
é uma norma vetorial no espaço das matrizes complexas, mas não é uma norma matricial, pois se<br />
então<br />
A =<br />
A 2 =<br />
1 1<br />
1 1<br />
2 2<br />
2 2<br />
e portanto A 2 ∞ = 2 > 1 = A ∞ A ∞ .<br />
Mas um múltiplo escalar <strong>de</strong>sta norma vetorial é uma norma matricial:<br />
Com efeito,<br />
4. Norma induzida<br />
AB n∞ = n max<br />
<br />
n<br />
<br />
<br />
<br />
aikbkj<br />
1i,jn 1i,jn<br />
k=1<br />
k=1<br />
= n A∞ n B∞ = ABn∞ .<br />
<br />
,<br />
<br />
A n∞ = n max<br />
1i,jn |aij| . (3.4)<br />
<br />
<br />
<br />
n max<br />
n<br />
|aikbkj| n max<br />
n<br />
A<br />
1i,jn<br />
∞ B∞ k=1<br />
Dada uma norma vetorial |·| em C n , ela induz uma norma matricial através da <strong>de</strong>finição<br />
De fato,<br />
AB = max<br />
x=0<br />
|ABx|<br />
|x|<br />
= max<br />
x=0<br />
|ABx|<br />
|Bx|<br />
A = max |Ax| = max<br />
|x|=1 x=0<br />
|Ax|<br />
. (3.5)<br />
|x|<br />
<br />
|Bx| |ABx|<br />
max<br />
|x| x=0 |Bx| max<br />
|Bx| |Ay|<br />
max<br />
x=0 |x| y=0 |y| max<br />
|Bx|<br />
= A B .<br />
x=0 |x|<br />
Esta norma também é chamada norma <strong>do</strong> opera<strong>do</strong>r. Ela satisfaz a proprieda<strong>de</strong> muitas vezes útil<br />
para to<strong>do</strong> vetor x ∈ C n .<br />
5. Norma <strong>do</strong> máximo das somas das linhas<br />
|Ax| A |x| (3.6)<br />
A L = max<br />
1in<br />
j=1<br />
n<br />
|aij| . (3.7)<br />
Esta norma é induzida pela norma vetorial l∞. De fato, se x = (x1, . . . , xn), temos<br />
<br />
<br />
n<br />
<br />
<br />
n<br />
n<br />
|Ax| ∞ = max aijxj <br />
1in max |aijxj| max<br />
1in<br />
1in<br />
j=1<br />
j=1<br />
j=1<br />
|aij| |x| ∞ = A L |x| ∞ ,
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