Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 6
O método de expansão em autofunções também pode ser usado para resolver o problema de Neumann
da equação da onda ou outros problemas mais gerais. Nestes casos, devem ser buscados os autovalores do
laplaciano de acordo com a condição de fronteira considerada.
O método de expansão em autofunções também pode ser usado para resolver o problema do calor com
as condições de fronteira apropriadas. Por exemplo, para o problema de Dirichlet
a solução é dada por
⎧
⎨
⎩
ut = K∆u se x ∈ Ω e t > 0,
u (x, 0) = f (x) se x ∈ Ω,
u (x, t) = 0 se x ∈ ∂Ω e t 0,
u (x, t) =
∞
n=1
ane −√ λnKt Fn (x) ,
onde os coeficientes an são determinados pelas condição inicial (distribuição de temperaturas inicial na placa
bidimensional ou no objeto tridimensional):
isto é,
1.1.2 Problema Isospectral
f (x) =
∞
anFn (x) ,
n=1
an = f(x)Fn (x) dx.
Ω
Dada uma variedade Riemanniana compacta com fronteira (M, g), pode-se definir um operador laplaciano
∆gu = div (∇u). Em coordenadas locais, ele é um operador elíptico. Como no caso de abertos de R n , o
laplaciano em variedades possui uma seqüência de autovalores (o seu espectro). Dizemos que duas variedades
Riemannianas são isospectrais se seus espectros coincidirem, contando multiplicidades. Uma questão natural
é a seguinte: duas variedades Riemannianas isospectrais são isométricas? Se considerarmos variedades ndimensionais
contida em R n sob a métrica euclidiana, duas variedades serem isométricas é equivalente a
elas serem congruentes do ponto de vista da geometria euclidiana clássica. Esta questão para domínios
planos foi colocada de maneira mais colorida por Bers e Kac em 1966 ([Kac]; o último atribui o problema
a Bochner em meados dos anos 1950s) como “é possível escutar o formato de um tambor?”, já que no caso
de domínios no plano os autovalores do laplaciano correspondem ao quadrado das freqüências naturais de
vibração produzidas por uma membrana, como vimos na seção anterior. Pode-se traçar as origens desta
especulação ao resultado obtido por Weyl em 1911 [Weyl] de que a área de um domínio plano é determinada
pelo espectro do laplaciano; em particular, domínios com diferentes áreas nunca podem ter o mesmo espectro.
Sabe-se também que o espectro determina o perímetro e o número de componentes conexas de um domínio
plano (veja [Kac] para referências). Kac, usando a desigualdade perimétrica (perímetro(Ω) 4π área(Ω)) e
o fato que a área e o perímetro são determinadas pelo espectro do laplaciano, conseguiu provar que se um
domínio plano possui o mesmo espectro de um disco de raio r, então ele é congruente ao disco, mostrando
que existem domínios que são determinados pelo espectro do laplaciano.
No entanto, a resposta a este problema no caso geral é negativa: o formato de um tambor não é audível.
No caso de variedades Riemannianas, Milnor já havia construído em 1964 [Milnor] um par de variedades
isospectrais não-isométricas de dimensão 16; vários outros exemplos se seguiram, incluindo superfícies de
Riemann (veja [GWW1] e [Protter], para referências) até que em 1980 Vignéras [Vigneras] obteve exemplos
de variedades compactas isospectrais não-isométricas de qualquer dimensão n 2. Entretanto, a questão de
Kac para domínios no plano permaneceu em aberta até 1992, quando Gordon, Webb e Wolpert ([GWW1];
veja [GWW2] para os detalhes completos), usando resultados de teoria de espaços de recobrimento e teoria
dos grupos, obtiveram um par de domínios planos simplesmente conexos não-isométricos com os mesmos