Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 67
definindo o esquema de diferenças finitas de Shortley-Weller:
2
u (xi + tE∆x, yj) − u (xi, yj)
∆dud =
−
(xi + tE∆x) − (xi − tW ∆x) (xi + tE∆x) − xi
u (xi,
yj) − u (xi − tW ∆x, yj)
xi − (xi − tW ∆x)
2
u (xi, yj + tN ∆y) − u (xi, yj)
+
−
(yj + tN ∆y) − (yj − tS∆y) (yj + tN∆y) − yj
u (xi,
yj) − u (xi, yj − tS∆y)
yj − (yj − tS∆y)
2 ui+tE∆x,j − ui,j
=
−
(tE + tW ) ∆x tE∆x
ui,j
− ui−tW ∆x,j
tW ∆x
2 ui,j+tN ∆y − ui,j
+
−
(tN + tS) ∆y tN∆y
ui,j
− ui,j−tS∆y
tS∆y
ou
−∆dud = 2
∆x2
1
−
+ 2
∆y2
1
−
tS (tN + tS) ui,j−tS∆y + 1
tE (tE + tW ) ui+tE∆x,j + 1
1
ui,j −
tEtW tW (tE + tW ) ui−tW ∆x,j
ui,j −
tNtS
1
tN (tN + tS) ui,j+tN ∆y
.
(2.67)
Se (xi, yj) é um ponto interior distante da fronteira (isto é, não adjacente à fronteira), então t∗ = 1 e para
este ponto vale a fórmula dos cinco pontos usual.
Embora a ordem de aproximação do laplaciano para pontos próximos à fronteira é apenas 1, o esquema de
Shortley-Weller é convergente de segunda ordem, conforme veremos no próximo capítulo, onde provaremos
também que o correspondente problema discretizado possui solução única.
2.6 Exercícios
1. Implemente os métodos discutidos neste capítulo computacionalmente, verifique a precisão comparando
com a solução exata e também a velocidade de convergência.
2. Discretize o problema de Poisson com valor de fronteira de Dirichlet a seguir, usando a fórmula de
cinco pontos. −∆u = f (x, y) em (0, a) × (0, b) ,
u = g (x, y) sobre ∂ ((0, a) × (0, b)) ,
Implemente alguns exemplos deste problema computacionalmente e compare os resultados obtidos com
as soluções exatas.
3. Prove que a fórmula dos nove pontos compacta satisfaz o princípio do máximo discreto.
4. Prove resultados equivalentes ao Lema 2.5 e ao Teorema 2.6 para a fórmula dos nove pontos compacta.
5. Investigue a ordem de convergência do esquema de diferenças finitas misto: fórmula dos nove pontos nos
pontos interiores distantes da fronteira e fórmula dos cinco pontos para pontos adjacentes à fronteira.
6. Encontre um esquema de diferenças finitas de segunda ordem para a equação de laplace tridimensional
em um paralelepípedo reto. Escolha uma ordenação apropriada dos pontos da malha e descreva a
matriz de discretização obtida. Implemente o método no computador.
7. Mostre que o esquema de diferenças finitas em coordenadas polares introduzido neste capítulo satisfaz
o princípio do máximo discreto desde que o valor de u0 seja dado pela fórmula (2.56).