Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 66
(xi, yj − tS∆y) ∈ ∂Ω e (xi, yj − t∆y) ∈ Ω para todo t ∈ [0, tS). (2.62)
(xi, yj + tN∆y) ∈ ∂Ω e (xi, yj + t∆y) ∈ Ω para todo t ∈ [0, tN ). (2.63)
(os subíndices W, E, S, N correspondem aos quatro pontos cardeais oeste, leste, sul, norte em inglês). Definimos
∂Ωd = {(x, y) ∈ ∂Ω : (x, y) satisfaz (2.60), (2.61), (2.62) ou (2.63)} (2.64)
Dependendo da geometria de Ω é concebível que um ponto seja simultaneamente adjacente às “quatro
fronteiras” de Ω, isto é, que ele tenha os seus quatro vizinhos em ∂Ωd. Além disso, embora os pontos
interiores da malha estejam distribuídos uniformemente, esta discretização da fronteira do domínio permite
que às vezes dois pontos da malha da fronteira estejam bem próximos um do outro em alguma região da
fronteira e relativamente distantes em outras (isso ocorre mesmo em domínio regulares como um disco).
Para discretizar a equação de Poisson nesta malha, observe que pela fórmula de Taylor temos, para pontos
x− < x < x+,
onde
De fato,
u ′′ (x) =
2
x+ − x−
u (x+) − u (x)
−
x+ − x
u (x) − u (x−)
+ r, (2.65)
x − x−
|r| 1 (x+ − x)
3
2 + (x − x−) 2
1
uC3 ([x−,x+])
x+ − x−
3 max (x+ − x, x − x−) uC3 ([x−,x+]) . (2.66)
u(x−) = u(x) − u ′ (x) (x − x−) + 1
2 u′′ (x) (x − x−) 2 − 1
3! u′′′ (ξ−) (x − x−) 3 ,
u(x+) = u(x) + u ′ (x) (x+ − x) + 1
2 u′′ (x) (x+ − x) 2 + 1
3! u′′′ (ξ+) (x+ − x) 3 ,
para alguns ξ− ∈ [x−, x] , ξ+ ∈ [x, x+], de modo que
u (x) − u (x−)
−
x − x−
u (x+) − u (x)
x+ − x
donde, somando as duas expressões,
u (x+) − u (x)
x+ − x
−
Assim, podemos aproximar
u (x) − u (x−)
x − x−
u ′′ (x) ≈
= −u ′ (x) + 1
2 u′′ (x) (x − x−) − 1
6 u′′′ (ξ−) (x − x−) 2 ,
= u ′ (x) + 1
2 u′′ (x) (x+ − x) + 1
6 u′′′ (ξ+) (x+ − x) 2 ,
= 1
2 u′′ (x) (x+ − x−) + 1
u
6
′′′ (ξ+) (x+ − x) 2 − u ′′′ (ξ−) (x − x−) 2
.
2
x+ − x−
u (x+) − u (x)
−
x+ − x
u (x) − u (x−)
x − x−
Se x− = x − ∆x e x+ = x + ∆x, obtemos a fórmula de diferenças centradas usual para a derivada segunda.
Para aproximar o laplaciano através de uma fórmula de cinco pontos, usamos os quatro pontos vizinhos
(xi − tW ∆x, yj) , (xi + tE∆x, yj) , (xi, yj − tS∆y) , (xi, yj + tN ∆y) , com t∗ ∈ (0, 1]