Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 63
Portanto, a discretização da equação de Poisson no disco para pontos interiores do disco diferentes da origem
é
1 ri+1/2 (ui+1,j − ui,j) − ri−1/2 (ui,j − ui−1,j)
−
∆r2 ui,j−1 − 2ui,j − ui,j+1
∆θ2
= fi,j (2.54)
ri
para 1 i n − 1 e 1 j m − 1. Se j = 0, usando a condição de continuidade que identifica o ponto
(i, 0) com o ponto (i, n), substituímos ui,j−1 por ui,n−1e escrevemos
1 ri+1/2 (ui+1,0 − ui,0) − ri−1/2 (ui,0 − ui−1,0)
−
∆r2 ui,n−1 − 2ui,0 − ui,1
∆θ2
= fi,0 (2.55)
ri
para 1 i n − 1. Como este esquema de diferenças finitas foi obtido através de diferenças centradas,
ele deve ser de segunda ordem. No entanto, devemos ter cuidado ao discretizar a equação de Poisson na
origem para preservar esta ordem de convergência. Para isso, multiplicamos a equação de Poisson por r e
integramos o resultado sobre um pequeno disco Dε centrado na origem de raio ε:
2π ε 2π ε
1
fr drdθ = r
r (rur) r + 1
uθθ drdθ
r2 onde assumimos u ∈ C 2 (Ω) de modo que
0
0
=
=
0 0
2π ε
+ 1
r 2 i
+ 1
r 2 i
(rur) r drdθ +
ε
1
r
2π
0 0
0 0
2π
[rur]
0
ε
ε
1 2π
0 dθ + [uθ] 0
0 r drdθ
2π
= ε
0
ur (ε, θ) dθ,
uθ (r, 0) = uθ (r, 2π)
para todo 0 r < R. Escolhendo ε = ∆r/2, discretizamos a equação integral
∆r
2
2π
0
ur (∆r/2, θ) dθ =
2π ∆r/2
0
0
fr drdθ
uθθ drdθ
aproximando a derivada primeira ur (∆r/2, θ) = (ur) i+1/2,j por diferenças centradas e f por f (0) (pois ∆r
é suposto pequeno), de modo que
e assim
2π ∆r/2
0
ur (∆r/2, θj) ≈ u1,j − u0,j
,
∆r
0
fr drdθ ≈ f (0)
∆r
2
m−1
j=0
2π ∆r/2
0
0
r drdθ = 2πf (0) r2
2
u1,j − u0,j
∆θ =
∆r
π
4 f (0) ∆r2 ,
∆r/2
0
= π
4 f (0) ∆r2 ,
donde, como u0 := u0,j independe de j, segue que o valor de u na origem será dado por
m ∆θ
2 u0 = ∆θ
m−1
u1,j −
2
π
4 f (0) ∆r2 ,
ou, usando m∆θ = 2π,
j=0
4u0 2∆θ
−
∆r2 π∆r2 m−1
u1,j = f0. (2.56)
j=0