Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 62
mesmo analíticos), pois não deixa de ser uma condição na fronteira do retângulo (0, R) × (0, 2π).
onde
Discretizamos o disco através de uma malha polar
Sua fronteira discretizada é o conjunto
∆r
∆θ
Ωd = {(ri, θj) ∈ Ω : ri = i∆r, θj = j∆θ, 0 i n − 1, 0 j m}
∆r = R 2π
, ∆θ =
n m .
∂Ωd = {(rn, θj) ∈ ∂Ω : rn = n∆r = R, θj = j∆θ, 0 j m} .
Discretizamos a equação de Poisson da seguinte forma. Denotamos os valores das discretizações ud e fd
em pontos da malha por
entendendo que ui,j e fi,j devem satisfazer
ui,j = u (ri, θj) ,
fi,j = f (ri, θj) ,
u0,0 = u0,j e f0,0 = f0,j (2.50)
para todo 0 j m, já que existe apenas um ponto associado com i = 0 (a origem, correspondente a r = 0).
Além disso, pela condição de continuidade, devemos ter também
ui,0 = ui,2π e fi,0 = fi,2π (2.51)
para todo 0 i n. Usando uma diferença centrada usual para derivadas segundas, o terceiro termo do
laplaciano em coordenadas polares pode ser aproximado para pontos interiores do disco por
1
uθθ (ri, θj) ≈
r2 1
r2 ui,j−1 − 2ui,j − ui,j+1
i ∆θ2 . (2.52)
Para aproximar os primeiros dois termos, escrevemos
urr + 1
r ur = 1
r (rur) r .
Se (ri, θj) é um ponto interior do disco diferente da origem (isto é, i = 0), podemos usar diferenças centradas
para a derivada primeira, tanto na primeira quanto na segunda aproximações a seguir, obtendo
1
r (rur) r (ri, θj) ≈ 1 (rur) (ri + ∆r/2, θj) − (rur) (ri − ∆r/2, θj)
ri
2∆r/2
≈ 1
u (ri + ∆r, θj) − u (ri, θj) u (ri, θj) − u (ri − ∆r, θj)
ri+1/2 − ri−1/2 ∆r
∆r
ri
∆r
= 1 ri+1/2 (ui+1,j − ui,j) − ri−1/2 (ui,j − ui−1,j)
ri
∆r2 . (2.53)