Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 60
+ ∆x 5
− 1
120 c1 + 1
120 c3 − 1
120 c4 + 1
120 c6 − 1
120 c7 + 1
+ ∆x 4
∆y − 1
24 c1 − 1
24 c3 + 1
24 c7 + 1
24 c9
5 ∂ u
∂x4∂y (xi, yj)
+ ∆x 3 ∆y 2
− 1
12 c1 + 1
12 c3 + 1
12 c7 + 1
12 c9
5 ∂ u
+ ∆x 2 ∆y 3
− 1
5 ∂ u
120 c9
∂x 3 ∂y 2 (xi, yj)
∂ 5 u
∂x 5 (xi, yj)
12 c1 − 1
12 c3 − 1
12 c7 + 1
12 c9
∂x2∂y 3 (xi, yj)
+ ∆x∆y 4
− 1
24 c1 + 1
24 c3 − 1
24 c7 + 1
24 c9
5 ∂ u
∂x∂y4 (xi, yj)
+ ∆y 5
− 1
120 c1 − 1
120 c2 − 1
120 c3 + 1
120 c7 + 1
120 c8 + 1
120 c9
5 ∂ u
∂y5 (xi, yj)
Para obter um esquema com ordem de convergência pelo menos igual a 3, precisaríamos obter uma solução
não-nula para o sistema
⎧
⎪⎨
⎪⎩
c1 + c2 + c3 + c4 + c5 + c6 + c7 + c8 + c9 = 0
−c1 + c3 − c4 + c6 − c7 + c9 = 0
−c1 − c2 − c3 + c7 + c8 + c9 = 0
c1 + c3 + c4 + c6 + c7 + c9
=
1
∆x 2
c1 − c3 − c7 + c9 = 0
c1 + c2 + c3 + c7 + c8 + c9
=
1
∆y2 −c1 + c3 − c4 + c6 − c7 + c9 = 0
−c1 − c3 + c7 + c9 = 0
−c1 + c3 − c7 + c9 = 0
−c1 − c2 − c3 + c7 + c8 + c9 = 0
c1 + c3 + c4 + c6 + c7 + c9 = 0
c1 − c3 − c7 + c9 = 0
c1 + c3 + c7 + c9 = 0
c1 − c3 − c7 + c9 = 0
c1 + c2 + c3 + c7 + c8 + c9 = 0
Infelizmente este sistema não tem solução pois ele é inconsistente: a sexta e a última equação são incompatíveis,
assim como a quarta e a décima primeira. Portanto, não existe uma fórmula de nove pontos
compacta tal que
−∆dud = −∆u + O ∆x 3 , ∆y 3 .
No entanto, em 1975 o matemático e lógico Rosser introduziu a seguinte fórmula de nove pontos compacta
no caso especial ∆x = ∆y (em [Rosser1]; veja também [Rosser2])
∆dud = ui−1,j−1 + 4ui,,j−1 + ui+1,j−1 + 4ui−1,j − 20ui,j + 4ui+1,j + ui−1,j+1 + 4ui,j+1 + ui+1,j+1
6∆x2 , (2.42)
que pode ser resumida na forma
−∆dud = 1
6∆x2 ⎡
⎣
−1 −4 −1
−4 20 −4
−1 −4 −1
⎤
⎦ , (2.43)
a qual produz um esquema convergente de quarta ordem se a solução u ∈ C 6 Ω (ou mesmo se u ∈ C 5,1 Ω
apenas) dependendo de como a função f é discretizada. Para entender como isso ocorre, observe que se