Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 5
estamos estudando as vibrações de uma membrana retangular; se ∂Ω é um círculo, o estudo é o de uma
membrana circular (um tambor usual), e assim por diante. Este problema pode ser resolvido pelo método
de separação de variáveis: supomos que a solução do problema pode ser escrita na forma
u (x, t) = F (x) G (t) , x ∈ Ω e t 0.
Substituindo esta expressão na equação da onda, obtemos
Separando as variáveis, segue que
F (x) G ′′ (t) = c 2 ∆F (x) G (t) .
∆F (x)
F (x)
1
=
c2 G ′′ (t)
= −λ
G (t)
onde λ ∈ R é alguma constante a ser determinada. Como em geral G (t) não é a função identicamente nula,
a condição de fronteira implica que F (x) = 0 para x ∈ ∂Ω. Portanto, a função F satisfaz o problema de
Dirichlet para a equação de Laplace
−∆F (x) = λF (x) se x ∈ Ω,
F (x) = 0 se x ∈ ∂Ω,
ou seja, λ é um autovalor do laplaciano em Ω. Como veremos, os autovalores do laplaciano em Ω formam
um conjunto enumerável {λn} n∈N e existe um conjunto associado de autofunções {Fn} n∈N que constitui uma
base de Schauder (em outras palavras, um conjunto ortonormal completo) para L 2 (Ω). A solução geral para
a equação diferencial ordinária
G ′′ (t) = −λnc 2 G (t)
é
Logo, a solução do problema da onda é
u (x, t) =
Gn(t) = an cos λnt + bn sen λnt.
∞
an cos λnt + bn sen
λnt Fn (x) ,
n=1
onde os coeficientes an, bn são determinados pelas condições iniciais (posição inicial e velocidade inicial da
membrana):
f (x) =
g (x) =
∞
anFn (x) ,
n=1
∞
n=1
bn
λnFn (x) ,
ou seja, usando as relações de ortonormalidade das funções Fn,
an = f(x)Fn (x) dx,
Ω
bn = 1
√ f(x)Fn (x) dx.
λn Ω
Assim, no caso bidimensional, os autovalores do laplaciano correspondem às freqüências naturais de vibração
de uma membrana, enquanto que as autofunções associadas correspondem aos modos naturais de vibração
da membrana. Estas idéias se generalizam para fenômenos vibratórios em três ou mais dimensões.