Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG
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Rodney Josué Biezuner 57 que pode ser resumida na forma ⎡ ⎢ −∆dud = ⎢ ⎣ − 1 16 − 12∆x2 12∆x2 − 1 12∆y2 − 16 12∆y2 1 1 30 + 12∆x2 12∆y2 − 16 12∆y2 − 1 12∆y2 − 16 1 − 12∆x2 12∆x2 Embora este esquema seja de fato de ordem 4, ele apresenta dificuldades para pontos interiores adjacentes à fronteira do retângulo (por exemplo, se considerarmos o ponto (x1, y1), os pontos (x−1, y1) e (x1, y−1) estão fora do retângulo). Uma possibilidade para resolver este problema seria aplicar a fórmula dos cinco pontos nos pontos interiores adjacentes à fronteira e aplicar a fórmula dos nove pontos apenas nos pontos interiores mais distantes da fronteira. No entanto, como a fórmula de cinco pontos é de segunda ordem, a convergência deste método misto não deve ser de ordem 4. Vamos tentar encontrar uma fórmula de nove pontos compacta, em que os nove pontos estão dispostos em três linhas e três colunas, de modo que não há problemas em usá-la nos pontos interiores adjacentes à fronteira. Aplicando o método dos coeficientes indeterminados, buscamos nove coeficientes para a diferença finita −∆dud = c1ui−1,j−1 + c2ui,j−1 + c3ui+1,j−1 + c4ui−1,j + c5ui,j + c6ui+1,j + c7ui−1,j+1 + c8ui,j+1 + c9ui+1,j+1. ⎤ ⎥ . ⎥ ⎦ (2.41) Observe a distribuição dos nove pontos. Além dos cinco usuais, foram acrescentados os quatro pontos que ocupam as posições diagonais. Para os quatro pontos vizinhos horizontais ou verticais do ponto central, a fórmula de Taylor produz u(xi − ∆x, yj) = u(xi, yj) − ∂u ∂x (xi, yj)∆x + 1 2! − 1 ∂ 5! 5u ∂x5 (xi, yj)∆x 5 + O ∆x 6 u(xi + ∆x, yj) = u(xi, yj) + ∂u ∂x (xi, yj)∆x + 1 2! + 1 ∂ 5! 5u ∂x5 (xi, yj)∆x 5 + O ∆x 6 u(xi, yj − ∆y) = u(xi, yj) − ∂u ∂y (xi, yj)∆y + 1 2! − 1 ∂ 5! 5u ∂x5 (xi, yj)∆x 5 + O ∆x 6 u(xi, yj + ∆y) = u(xi, yj) + ∂u ∂y (xi, yj)∆y + 1 2! + 1 ∂ 5! 5u ∂x5 (xi, yj)∆x 5 + O ∆x 6 , ∆y 6 ∂2u ∂x2 (xi, yj)∆x 2 − 1 ∂ 3! 3u ∂x3 (xi, yj)∆x 3 + 1 ∂ 4! 4u ∂x4 (xi, yj)∆x 4 ∂2u ∂x2 (xi, yj)∆x 2 + 1 ∂ 3! 3u ∂x3 (xi, yj)∆x 3 + 1 ∂ 4! 4u ∂x4 (xi, yj)∆x 4 ∂2u ∂y2 (xi, yj)∆y 2 − 1 ∂ 3! 3u ∂y3 (xi, yj)∆y 3 + 1 ∂ 4! 4u ∂y4 (xi, yj)∆y 4 ∂2u ∂y2 (xi, yj)∆y 2 + 1 ∂ 3! 3u ∂y3 (xi, yj)∆y 3 + 1 ∂ 4! 4u ∂y4 (xi, yj)∆y 4
Rodney Josué Biezuner 58 enquanto que para os quatro pontos diagonais temos u(xi + ∆x, yj + ∆y) = u(xi, yj) + + 1 3 ∂ u 3! + 1 4! + 1 5! ∂u ∂x (xi, yj)∆x + ∂u ∂y (xi, yj)∆y + 1 2 ∂ u 2! ∂x2 (xi, yj)∆x 2 + 2 ∂2u ∂x∂y (xi, yj)∆x∆y + ∂2 u ∂x3 (xi, yj)∆x 3 + 3 ∂3u ∂x2∂y (xi, yj)∆x 2 ∆y + 3 ∂3u ∂x∂y2 (xi, yj)∆x∆y 2 + ∂3u ∂y3 (xi, yj)∆y 3 ∂ 4 u ∂y2 (xi, yj)∆y 2 ∂x4 (xi, yj)∆x 4 + 4 ∂4u ∂x3∂y (xi, yj)∆x 3 ∆y + 6 ∂4u ∂x∂y3 (xi, yj)∆x 2 ∆y 2 + 4 ∂3u ∂x∂y3 (xi, yj)∆x∆y 3 + ∂4u ∂ 5 u ∂x 5 (xi, yj)∆x 5 + 5 ∂5 u ∂x 4 ∂y (xi, yj)∆x 4 ∆y + 10 ∂5 u +5 ∂5 u ∂x∂y 4 (xi, yj)∆x∆y 4 + ∂5 u ∂y 5 (xi, yj)∆y 5 u(xi − ∆x, yj − ∆y) = u(xi, yj) − − 1 3 ∂ u 3! + 1 4! − 1 5! ∂u ∂x (xi, yj)∆x + ∂u ∂y (xi, yj)∆y ∂x3∂y 2 (xi, yj)∆x 3 ∆y 2 + 10 ∂5u ∂x∂y4 (xi, yj)∆x 2 ∆y 3 + O ∆x 6 , ∆y 6 , + 1 2 ∂ u 2! ∂x2 (xi, yj)∆x 2 + 2 ∂2u ∂x∂y (xi, yj)∆x∆y + ∂2 u ∂x3 (xi, yj)∆x 3 + 3 ∂3u ∂x2∂y (xi, yj)∆x 2 ∆y + 3 ∂3u ∂x∂y2 (xi, yj)∆x∆y 2 + ∂3u ∂y3 (xi, yj)∆y 3 ∂ 4 u ∂y4 (xi, yj)∆y 4 ∂y2 (xi, yj)∆y 2 ∂x4 (xi, yj)∆x 4 + 4 ∂4u ∂x3∂y (xi, yj)∆x 3 ∆y + 6 ∂4u ∂x∂y3 (xi, yj)∆x 2 ∆y 2 + 4 ∂3u ∂x∂y3 (xi, yj)∆x∆y 3 + ∂4u ∂ 5 u ∂x 5 (xi, yj)∆x 5 + 5 ∂5 u ∂x 4 ∂y (xi, yj)∆x 4 ∆y + 10 ∂5 u +5 ∂5 u ∂x∂y 4 (xi, yj)∆x∆y 4 + ∂5 u ∂y 5 (xi, yj)∆y 5 u(xi + ∆x, yj − ∆y) = u(xi, yj) + ∂u ∂x (xi, yj)∆x − ∂u ∂y (xi, yj)∆y + O ∆x 6 ∂x3∂y 2 (xi, yj)∆x 3 ∆y 2 + 10 ∂5u ∂x∂y4 (xi, yj)∆x 2 ∆y 3 + 1 2 ∂ u 2! ∂x2 (xi, yj)∆x 2 − 2 ∂2u ∂x∂y (xi, yj)∆x∆y + ∂2u ∂y2 (xi, yj)∆y 2 + 1 3 ∂ u 3! ∂x3 (xi, yj)∆x 3 − 3 ∂3u ∂x2∂y (xi, yj)∆x 2 ∆y + 3 ∂3u ∂x∂y2 (xi, yj)∆x∆y 2 − ∂3u ∂y3 (xi, yj)∆y 3 + 1 4 ∂ u 4! ∂x4 (xi, yj)∆x 4 − 4 ∂4u ∂x3∂y (xi, yj)∆x 3 ∆y + 6 ∂4u ∂x∂y3 (xi, yj)∆x 2 ∆y 2 − 4 ∂3u + 1 5 ∂ u 5! ∂x5 (xi, yj)∆x 5 − 5 ∂5u ∂x4∂y (xi, yj)∆x 4 ∆y + 10 ∂5u ∂x3∂y 2 (xi, yj)∆x 3 ∆y 2 − 10 ∂5u + O ∆x 6 , ∆y 6 , +5 ∂5 u ∂x∂y 4 (xi, yj)∆x∆y 4 − ∂5 u ∂y 5 (xi, yj)∆y 5 ∂x∂y 3 (xi, yj)∆x∆y 3 + ∂4 u ∂x∂y 4 (xi, yj)∆x 2 ∆y 3 ∂y4 (xi, yj)∆y 4 ∂y4 (xi, yj)∆y 4
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Rodney Josué Biezuner 58<br />
enquanto que para os quatro pontos diagonais temos<br />
u(xi + ∆x, yj + ∆y)<br />
= u(xi, yj) +<br />
+ 1<br />
3 ∂ u<br />
3!<br />
+ 1<br />
4!<br />
+ 1<br />
5!<br />
∂u<br />
∂x (xi, yj)∆x + ∂u<br />
∂y (xi, yj)∆y<br />
<br />
+ 1<br />
2 ∂ u<br />
2! ∂x2 (xi, yj)∆x 2 + 2 ∂2u ∂x∂y (xi, yj)∆x∆y + ∂2 u<br />
∂x3 (xi, yj)∆x 3 + 3 ∂3u ∂x2∂y (xi, yj)∆x 2 ∆y + 3 ∂3u ∂x∂y2 (xi, yj)∆x∆y 2 + ∂3u ∂y3 (xi, yj)∆y 3<br />
∂ 4 u<br />
<br />
∂y2 (xi, yj)∆y 2<br />
<br />
∂x4 (xi, yj)∆x 4 + 4 ∂4u ∂x3∂y (xi, yj)∆x 3 ∆y + 6 ∂4u ∂x∂y3 (xi, yj)∆x 2 ∆y 2 + 4 ∂3u ∂x∂y3 (xi, yj)∆x∆y 3 + ∂4u ∂ 5 u<br />
∂x 5 (xi, yj)∆x 5 + 5 ∂5 u<br />
∂x 4 ∂y (xi, yj)∆x 4 ∆y + 10 ∂5 u<br />
+5 ∂5 u<br />
∂x∂y 4 (xi, yj)∆x∆y 4 + ∂5 u<br />
∂y 5 (xi, yj)∆y 5<br />
u(xi − ∆x, yj − ∆y)<br />
= u(xi, yj) −<br />
− 1<br />
3 ∂ u<br />
3!<br />
+ 1<br />
4!<br />
− 1<br />
5!<br />
∂u<br />
∂x (xi, yj)∆x + ∂u<br />
∂y (xi, yj)∆y<br />
∂x3∂y 2 (xi, yj)∆x 3 ∆y 2 + 10 ∂5u ∂x∂y4 (xi, yj)∆x 2 ∆y 3<br />
<br />
+ O ∆x 6 , ∆y 6 ,<br />
<br />
+ 1<br />
2 ∂ u<br />
2! ∂x2 (xi, yj)∆x 2 + 2 ∂2u ∂x∂y (xi, yj)∆x∆y + ∂2 u<br />
∂x3 (xi, yj)∆x 3 + 3 ∂3u ∂x2∂y (xi, yj)∆x 2 ∆y + 3 ∂3u ∂x∂y2 (xi, yj)∆x∆y 2 + ∂3u ∂y3 (xi, yj)∆y 3<br />
∂ 4 u<br />
<br />
∂y4 (xi, yj)∆y 4<br />
<br />
∂y2 (xi, yj)∆y 2<br />
<br />
∂x4 (xi, yj)∆x 4 + 4 ∂4u ∂x3∂y (xi, yj)∆x 3 ∆y + 6 ∂4u ∂x∂y3 (xi, yj)∆x 2 ∆y 2 + 4 ∂3u ∂x∂y3 (xi, yj)∆x∆y 3 + ∂4u ∂ 5 u<br />
∂x 5 (xi, yj)∆x 5 + 5 ∂5 u<br />
∂x 4 ∂y (xi, yj)∆x 4 ∆y + 10 ∂5 u<br />
+5 ∂5 u<br />
∂x∂y 4 (xi, yj)∆x∆y 4 + ∂5 u<br />
∂y 5 (xi, yj)∆y 5<br />
u(xi + ∆x, yj − ∆y)<br />
= u(xi, yj) +<br />
<br />
∂u<br />
∂x (xi, yj)∆x − ∂u<br />
∂y (xi,<br />
<br />
yj)∆y<br />
<br />
+ O ∆x 6<br />
∂x3∂y 2 (xi, yj)∆x 3 ∆y 2 + 10 ∂5u ∂x∂y4 (xi, yj)∆x 2 ∆y 3<br />
+ 1<br />
2 ∂ u<br />
2! ∂x2 (xi, yj)∆x 2 − 2 ∂2u ∂x∂y (xi, yj)∆x∆y + ∂2u ∂y2 (xi, yj)∆y 2<br />
<br />
+ 1<br />
3 ∂ u<br />
3! ∂x3 (xi, yj)∆x 3 − 3 ∂3u ∂x2∂y (xi, yj)∆x 2 ∆y + 3 ∂3u ∂x∂y2 (xi, yj)∆x∆y 2 − ∂3u ∂y3 (xi, yj)∆y 3<br />
<br />
+ 1<br />
4 ∂ u<br />
4! ∂x4 (xi, yj)∆x 4 − 4 ∂4u ∂x3∂y (xi, yj)∆x 3 ∆y + 6 ∂4u ∂x∂y3 (xi, yj)∆x 2 ∆y 2 − 4 ∂3u + 1<br />
5 ∂ u<br />
5! ∂x5 (xi, yj)∆x 5 − 5 ∂5u ∂x4∂y (xi, yj)∆x 4 ∆y + 10 ∂5u ∂x3∂y 2 (xi, yj)∆x 3 ∆y 2 − 10 ∂5u <br />
+ O ∆x 6 , ∆y 6 ,<br />
+5 ∂5 u<br />
∂x∂y 4 (xi, yj)∆x∆y 4 − ∂5 u<br />
∂y 5 (xi, yj)∆y 5<br />
∂x∂y 3 (xi, yj)∆x∆y 3 + ∂4 u<br />
∂x∂y 4 (xi, yj)∆x 2 ∆y 3<br />
∂y4 (xi, yj)∆y 4<br />
<br />
∂y4 (xi, yj)∆y 4
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