Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 56
isso implicaria em princípio em um esquema com ordem de convergência pelo menos igual a 3:
δui = u ′′ (xi) + O ∆x 3 .
Como a matriz ⎡
1 1 1 1 1
⎢ −2
⎢ 2
⎢
−
⎣
−1
1
2
0
0
1
1
2
2
2
4
3 −1
⎤
2
3
6
1
24
0
0
1
6
1
24
⎥
4 ⎥
3 ⎥
⎦
2
3
tem determinante igual a 1, ela é invertível e o sistema possui a solução única
Incidentalmente, esta solução também implica
c1 = − 1 1
,
12 ∆x2 c2 = 4 1
,
3 ∆x2 c3 = − 5 1
2 ∆x2 c4 = 4 1
,
3 ∆x2 c5 = − 1 1
.
12 ∆x2 − 4
15 c1 − 1
120 c2 + 1
120 c4 + 4
15 c5 = 0
o que permite obter um esquema com ordem de convergência igual a 4:
δui = u ′′ (xi) + O ∆x 4 ,
aproximando a derivada segunda u ′′ pela diferença finita
ou
u ′′ =
− 1
12 ui−2 + 4
3 ui−1 − 5
2 ui + 4
3 ui+1 − 1
12 ui+2
∆x 2
−u ′′ = ui−2 − 16ui−1 + 30ui − 16ui+1 + ui+2
12∆x 2 . (2.39)
2.3.2 Caso Bidimensional: A Fórmula dos Nove Pontos Compacta
Um esquema de ordem 4 para a equação de Poisson em duas dimensões é a fórmula de nove pontos compacta.
Se buscássemos uma fórmula de nove pontos simplesmente a partir da fórmula de cinco pontos unidimensional
obtida na subseção precedente (como obtivemos a fórmula de cinco pontos bidimensional a partir
da fórmula de três pontos unidimensional), escreveríamos
−∆dud = ui−2,j − 16ui−1,j + 30ui,j − 16ui+1,j + ui+2,j
12∆x 2
+ ui,j−2 − 16ui,j−1 + 30ui,j − 16ui,j+1 + ui,j+2
12∆y2 ,
(2.40)