Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 55
2.3 Discretizações de Ordem Superior
Para obter esquemas de diferenças finitas com melhor ordem de convergência, em geral é necessário acrescentar
mais pontos na fórmula. O método dos coeficientes indeterminados é um método simples para
construir estes esquemas.
2.3.1 Caso Unidimensional
Vamos obter um esquema de diferenças finitas convergente de ordem 4 para o caso unidimensional. O
esquema envolvendo três pontos, que obtivemos no início do capítulo através da aproximação da derivada
segunda em um ponto por uma diferença finita centrada (que envolve o ponto e seus dois vizinhos, à esquerda
e à direita), é convergente de ordem 2 (isso que pode ser provado de maneira semelhante a como fizemos para
a fórmula de cinco pontos). Para obter um esquema com uma maior ordem de convergência, acrescentamos
mais dois pontos à fórmula de diferenças finitas do esquema, que denotaremos por δui:
Cada termo tem sua expansão em série de Taylor:
δui = c1ui−2 + c2ui−1 + c3ui + c4ui+1 + c5ui+2. (2.38)
u(xi − 2∆x) = u(xi) − 2u ′ (xi)∆x + 4
2! u′′ (xi)∆x 2 − 8
3! u′′′ (xi)∆x 3 + 16
4! u(4) (xi)∆x 4 − 32
5! u(5) (xi)∆x 5 + O ∆x 6 ,
u(xi − ∆x) = u(xi) − u ′ (xi)∆x + 1
2! u′′ (xi)∆x 2 − 1
3! u′′′ (xi)∆x 3 + 1
4! u(4) (xi)∆x 4 − 1
5! u(5) (xi)∆x 5 + O ∆x 6 ,
u(xi + ∆x) = u(xi) + u ′ (xi)∆x + 1
2! u′′ (xi)∆x 2 + 1
3! u′′′ (xi)∆x 3 + 1
4! u(4) (xi)∆x 4 + 1
5! u(5) (xi)∆x 5 + O ∆x 6 ,
u(xi + 2∆x) = u(xi) + 2u ′ (xi)∆x + 4
2! u′′ (xi)∆x 2 + 8
3! u′′′ (xi)∆x 3 + 16
4! u(4) (xi)∆x 4 + 32
5! u(5) (xi)∆x 5 + O ∆x 6 .
Substituindo estas expressões na fórmula acima, obtemos:
δui = (c1 + c2 + c3 + c4 + c5) u (xi)
+ ∆x (−2c1 − c2 + c4 + 2c5) u ′ (xi)
+ ∆x 2
2c1 + 1
2 c2 + 1
2 c4
+ 2c5 u ′′ (xi)
+ ∆x 3
− 4
3 c1 − 1
6 c2 + 1
6 c4 + 4
3 c5
u ′′′ (xi)
+ ∆x 4
2
3 c1 + 1
24 c2 + 1
24 c4 + 2
3 c5
u (4) (xi)
+ ∆x 5
− 4
15 c1 − 1
120 c2 + 1
120 c4 + 4
15 c5
u (5) (xi)
+ O ∆x 6 .
Como procuramos um esquema de diferenças finitas com ordem de convergência maior que 2, queremos obter
uma solução não-nula para o sistema
⎧
⎪⎨
⎪⎩
c1 + c2 + c3 + c4 + c5 = 0
−2c1 − c2 + c4 + 2c5 = 0
2c1 + 1
2 c2 + 1
2 c4 + 2c5
=
1
∆x 2
− 4
3 c1 − 1
6 c2 + 1
6 c4 + 4
3 c5 = 0
2
3 c1 + 1
24 c2 + 1
24 c4 + 2
3 c5 = 0
;