Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 54
donde
Como
temos que
∆u (xi, yj) = (∆dud) ij − 1
4 ∂ u
3! ∂x4 (xi, yj)∆x 2 + ∂4u ∂y4 (xi, yj)∆y 2
+ O ∆x 4 , ∆y 4 . (2.35)
−∆u (xi, yj) = f (xi, yj) ,
− (∆dud) i,j = (fd) i,j − 1
4 ∂ u
3! ∂x4 (xi, yj)∆x 2 + ∂4u ∂y4 (xi, yj)∆y 2
+ O ∆x 4 , ∆y 4 . (2.36)
Subtraindo desta equação a equação
obtemos
o que implica
− (∆dvd) i,j = (fd) i,j ,
− (∆dud − ∆dvd) i,j = − 1
4 ∂ u
3! ∂x4 (xi, yj)∆x 2 + ∂4u ∂y4 (xi, yj)∆y 2
+ O ∆x 4 , ∆y 4 ,
∆d (ud − vd)∞ 1
D
3!
4 u
2 2
L∞ ∆x + ∆y
(Ω)
+ O ∆x 4 , ∆y 4
C
4
D uL 2 2
∞ ∆x + ∆y (Ω)
.
Usando a estimativa a priori do lema anterior, obtemos finalmente o resultado desejado.
Definição. Dizemos que as soluções do problema discretizado
−∆dvd = fd em Ωd,
vd = 0 sobre ∂Ωd,
convergem para a solução exata u do problema de Poisson
−∆u = f em Ω,
u = 0 sobre ∂Ω,
com relação à norma · se
ud − vd → 0
quando ∆x, ∆y → 0. Dizemos que a convergência é de ordem k (ou que o esquema de diferenças
finitas é convergente de ordem k) se
ud − vd = O ∆x k , ∆y k .
O Teorema 2.6 diz que o esquema de diferenças finitas da fórmula de cinco pontos é um esquema convergente
na norma do sup de ordem 2, se u ∈ C 4 Ω . Maior regularidade da solução u não causa melhor convergência
no método. Na verdade, a ordem de convergência da fórmula de cinco pontos ainda é 2 mesmo sob hipóteses
mais fracas sobre a regularidade de u: basta assumir u ∈ C 3,1 Ω , ao invés de u ∈ C 4 Ω . No entanto,
regularidade menor que esta em u afeta negativamente a ordem de convergência da fórmula de cinco pontos.
Em geral, pode-se provar que se u ∈ C k,α Ω , 2 k 4, então existe uma constante C = C (k, α) tal que
ud − vd ∞ C ∆x k+α−2 + ∆y k+α−2 u C k,α (Ω) . (2.37)
Para uma demonstração destes resultados, veja [Hackbusch], págs. 60-61. Se quisermos uma melhor ordem
de convergência para as soluções discretizadas, é necessário considerar outras forma de discretizar o laplaciano
através de diferenças finitas. Isto será feito na próxima seção.