Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 53
Segue do Princípio do Máximo Discreto que a função ud − ∆dud ∞ wd assume o seu mínimo na fronteira.
Este último é igual a − ∆dud ∞ max∂Ωd wd. Por sua vez, o máximo de wd na fronteira é menor ou igual ao
máximo de w em ∂Ω, dado por
Portanto, concluímos que
para todos i, j. Analogamente,
1
max x −
0x1 4
1
2
1
= max y −
2 0x1 4
1
2 =
2
1
8 .
ui,j ui,j − ∆dud ∞ wi,j − 1
8 ∆dud ∞
∆d (ud + ∆dud ∞ wd) 0
(2.32)
e a função ud + ∆dud∞ wd assume o seu máximo na fronteira, igual a ∆dud max∂Ωd ∞ wd 1
8a, donde
ui,j ui,j − ∆dud ∞ wi,j 1
8 ∆dud ∞
para todos i, j. Reunindo as duas desigualdades, segue que
para todos i, j, o que conclui a demonstração.
|ui,j| 1
8 ∆dud ∞
2.6 Teorema. Seja Ω = (0, 1) 2 . Sejam u ∈ C 4 Ω uma solução clássica para o problema de Dirichlet
−∆u = f em Ω,
u = 0 sobre ∂Ω,
e vd uma solução do correspondente problema discretizado
−∆dvd = fd em Ωd,
vd = 0 sobre ∂Ωd.
(2.33)
Então existe uma constante C > 0 independente de u tal que
ud − vd∞ C D 4 u
2 2
L∞ ∆x + ∆y
(Ω)
. (2.34)
Prova. A hipótese f ∈ C2,α Ω garante que u ∈ C4 Ω . Lembre-se que
D 4 u
L∞ =
(Ω)
sup
∂
4u ∂xp
(x, y)
∂yq .
Pela Fórmula de Taylor,
(x,y)∈Ω
p+q=4
∂2u ∂x2 (xi, yj) = u(xi − ∆x, yj) − 2u(xi, yj) + u(xi + ∆x, yj)
∆x2 − 2 ∂
4!
4u ∂x4 (xi, yj)∆x 2 − 2 ∂
5!
6u ∂x6 (xi, yj)∆x 4 − . . .
= ui−1,j − 2ui,j + ui+1,j
∆x2 − 2 ∂
4!
4u ∂x4 (xi, yj)∆x 2 − 2 ∂
5!
6u ∂x6 (xi, yj)∆x 4 − . . . ,
∂2u ∂y2 (xi, yj) = u(xi, yj − ∆y) − 2u(xi, yj) + u(xi, yj + ∆y)
∆y2 − 2 ∂
4!
4u ∂y4 (xi, yj)∆y 2 − 2 ∂
5!
6u ∂y6 (xi, yj)∆y 4 − . . .
= ui,j−1 − 2ui,j + ui,j+1
∆y2 − 2 ∂
4!
4u ∂y4 (xi, yj)∆y 2 − 2 ∂
5!
6u ∂y6 (xi, yj)∆y 4 − . . . ,