Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 51
2.2.3 Princípio do Máximo Discreto
Para obter uma estimativa a priori para a equação de Poisson discretizada, e com isso provar a convergência
da solução discreta para a solução clássica, usaremos um princípio do máximo discreto que enunciaremos e
provaremos nesta subseção.
2.3 Lema. (Propriedade do Valor Médio) Se ∆dud = 0, então para pontos interiores vale
ui,j = ∆x2 (ui,j−1 + ui,j+1) + ∆y2 (ui−1,j + ui+1,j)
2 (∆x2 + ∆y2 .
)
Em particular, se ∆x = ∆y, então para pontos interiores vale
ui,j = ui,j−1 + ui,j+1 + ui−1,j + ui+1,j
.
4
2.4 Teorema. (Princípio do Máximo Discreto) Se ∆dud 0, o máximo de ud em Ωd é atingido na fronteira
∂Ωd; se o máximo de ud é atingido no interior, então ud é constante.
Se ∆dud 0, o mínimo de ud em Ωd é atingido na fronteira ∂Ωd; se o mínimo de ud é atingido no
interior, então ud é constante.
Prova. Primeiro provaremos para ∆x = ∆y, para ilustrar a analogia com o caso contínuo. ∆dud 0 implica
Logo, um ponto interior é um máximo local, isto é,
ui,j ui,j−1 + ui,j+1 + ui−1,j + ui+1,j
.
4
ui,j ui,j−1, ui,j+1, ui−1,j, ui+1,j
(ou seja, é um máximo em relação aos seus quatro vizinhos), somente se cada um dos seus quatro vizinhos
assume este mesmo valor máximo, e a desigualdade torna-se uma identidade. Aplicando este argumento a
todos os pontos da malha, concluímos que ou não existe um máximo interior, e portanto o máximo é atingido
na fronteira, ou existe um máximo interior e todos os pontos da malha assumem o mesmo valor, isto é, ud é
constante.
No caso geral ∆x = ∆y, se ∆dud 0 temos
1 1
+
∆x2 ∆y2
ui,j 1
ui,j−1 + ui,j+1
2 ∆y2 Se ui,j é um máximo local, segue que
1 1
+
∆x2 ∆y2
ui,j 1
ui,j + ui,j
2 ∆y2 + ui−1,j + ui+1,j
∆x2
.
+ ui,j + ui,j
∆x2
= 1
1 1
+
2 ∆x2 ∆y2
ui,j,
logo nenhum dos seus quatro vizinhos pode assumir um valor menor que ui,j, isto é, cada um dos quatro
vizinhos assume o mesmo valor máximo e o argumento prossegue como no caso anterior. O caso ∆dud 0
é provado considerando-se −ud.
2.2.4 Convergência da Solução Discreta para a Solução Clássica
Por simplicidade, trabalharemos no quadrado unitário, isto é, Ω = (0, 1) × (0, 1). Consideraremos a norma
do máximo discreta para funções vd definidas no domínio discretizado Ωd:
vd∞ = max |vi,j| .
0in
0jm
Em primeiro lugar, obtemos uma estimativa a priori discreta (que também pode ser visto como um resultado
de regularidade discreto) para soluções da equação de Poisson discreta com condição de Dirichlet homogênea: