Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 49
Dividindo esta equação por F (i) G (j), segue que
F (i − 1) − 2F (i) + F (i + 1)
∆x 2 F (i)
+ G (j − 1) − 2G (j) + G (j + 1)
∆y 2 G (j)
= −λ.
Separando as variáveis, concluímos que cada um dos quocientes acima é independente de i ou de j, isto é,
eles são constantes:
onde as constantes α, β estão relacionadas pela identidade
F (i − 1) − 2F (i) + F (i + 1)
= A,
F (i)
(2.18)
G (j − 1) − 2G (j) + G (j + 1)
= B,
G (j)
(2.19)
A B
+ = −λ. (2.20)
∆x2 ∆y2 Estas equações podem ser escritas como fórmulas de recorrência (análogas às equações diferenciais ordinárias
obtidas no método de separação de variáveis contínuo)
F (i + 1) − (A + 2) F (i) + F (i − 1) = 0,
G (j − 1) − (B + 2) G (j) + G (j + 1) = 0.
Para resolvê-las, é mais conveniente trabalhar com as constantes
Desta forma, as equações para F e G tornam-se
Observe que
2α = A + 2, 2β = B + 2.
F (i − 1) − 2αF (i) + F (i + 1) = 0, (2.21)
G (j − 1) − 2βG (j) + G (j + 1) = 0. (2.22)
1 − α 1 − β
λ = 2 +
∆x2 ∆y2
. (2.23)
Vamos resolver a equação para F , já que a equação para G é completamente análoga. Substituindo em
(2.21) uma solução da forma
F (i) = z i
(2.24)
obtemos
z i−1 − 2αz i + z i+1 = 0,
donde, dividindo por z i−1 extraímos a equação quadrática (análoga à equação indicial)
As duas raízes são
z 2 − 2αz + 1 = 0. (2.25)
z± = α ± α 2 − 1,
com z+ + z− = 2α e z+z− = 1. Portanto, a solução geral para a equação (2.21) é
F (i) = c1z i + + c2z i −
para algumas constantes c1, c2. Para determinarmos estas constantes e também α, aplicamos as condições
de fronteira, que implicam
F (0) = F (n) = 0.