Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Capítulo 1
Os Autovalores do Laplaciano
Seja Ω ⊂ R n um aberto limitado. O problema de autovalor para o laplaciano consiste em encontrar os valores
λ tais que
−∆u = λu em Ω (1.1)
admite soluções não triviais, com alguma condição de fronteira imposta sobre u. A equação de autovalor do
laplaciano também é conhecida como equação de Helmholtz. Nestas notas, consideraremos o problema de
autovalor com condição de Dirichlet
−∆u = λu em Ω,
(1.2)
u = 0 sobre ∂Ω,
e o problema de autovalor com condição de Neumann
⎧
⎨
⎩
−∆u = λu em Ω,
∂u
∂η
= 0 sobre ∂Ω.
O problema é tradicionalmente escrito nesta forma, com o sinal negativo multiplicando o laplaciano, porque
assim todos os autovalores são não-negativos. No caso do problema de Dirichlet, este fato segue imediatamente
do princípio do máximo. De fato, este implica que todos os autovalores, se existirem, devem ser
positivos, como veremos neste capítulo. Por outro lado, zero é um autovalor no problema de Neumann, pois
as funções constantes são autofunções associadas a este.
1.1 Motivação para o Estudo dos Autovalores do Laplaciano
1.1.1 Método de Expansão em Autofunções
Vários problemas de equações diferenciais parciais podem ser resolvidos através do chamado método de
expansão em autofunções do laplaciano.
Considere o seguinte problema de Dirichlet para a equação da onda em um aberto limitado Ω ⊂ R n :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
utt = c 2 ∆u se x ∈ Ω e t > 0,
u (x, 0) = f (x) se x ∈ Ω,
ut (x, 0) = g (x) se x ∈ Ω,
u (x, t) = 0 se x ∈ ∂Ω e t 0,
onde c ∈ R, f ∈ C 2 Ω e g ∈ C 1 Ω . Se Ω ⊂ R 2 , então este problema modela as vibrações transversais
de baixa amplitude de uma membrana fina fixada em um aro com o formato de ∂Ω: se ∂Ω é um retângulo,
4
(1.3)