Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 48
= Ukl (∆x, ∆y) , Ukl (2∆x, ∆y) , . . . , Ukl ((n − 1) ∆x, ∆y) ,
Ukl (∆x, 2∆y) , Ukl (2∆x, 2∆y) , . . . , Ukl ((n − 1) ∆x, 2∆y) ,
.
.
Ukl (∆x, (m − 1) ∆y) , Ukl (2∆x, (m − 1) ∆y) , . . . , Ukl ((n − 1) ∆x, (m − 1) ∆y) ,
ou seja, como ∆x = a/n e ∆y = b/m, os vetores
ukl =
sen kπ
n
sen kπ
n
. . . ,
sen kπ
n
lπ 2kπ
sen , sen
m n
2lπ 2kπ
sen , sen
m n
(m − 1) lπ
sen , sen
m
2kπ
n
lπ (n − 1) kπ
sen , . . . , sen sen
m n
lπ
m ,
2lπ (n − 1) kπ
sen , . . . , sen sen
m n
2lπ
m ,
(m − 1) lπ (n − 1) kπ
sen , . . . , sen sen
m
n
(m − 1) lπ
.
m
2.2 Lema. Os (n − 1) × (m − 1) autovalores da matriz A são
1
λkl = 2
∆x2
1 − cos kπ
+
n
1
∆y2
1 − cos lπ
1 kπ 1 lπ
= 4 sen2 + sen2 , (2.14)
m ∆x2 2n ∆y2 2m
k = 1, . . . , n − 1, l = 1, . . . , m − 1, e os autovetores correspondentes são
ukl =
sen kπ
n
sen kπ
n
. . . ,
sen kπ
n
lπ 2kπ
sen , sen
m n
2lπ 2kπ
sen , sen
m n
(m − 1) lπ
sen , sen
m
2kπ
n
k = 1, . . . , n − 1, l = 1, . . . , m − 1.
lπ (n − 1) kπ
sen , . . . , sen sen
m n
lπ
m ,
2lπ (n − 1) kπ
sen , . . . , sen
m n
(m − 1) lπ (n − 1) kπ
sen , . . . , sen sen
m
n
sen 2lπ
, (2.15)
m
(m − 1) lπ
,
m
Prova. Embora a demonstração deste lema possa ser feita de maneira análoga à do Lema 2.1, usando
identidades trigonométricas, daremos uma demonstração diferente. Lembrando que as autofunções e os
autovalores de Dirichlet do laplaciano no retângulo são facilmente obtidos através do método de separação
de variáveis, encontraremos os autovalores da matriz A usando um método de separação de variáveis discreto
para achar os autovalores do laplaciano discreto
ui−1,j − 2ui,j + ui+1,j
−
∆x2 + ui,j−1 − 2ui,j + ui,j+1
∆y2
= λui,j. (2.16)
Em particular, este método não depende da maneira como os pontos da malha são ordenados (não depende
da matriz A usada para representar o laplaciano discreto). Como no método de separação de variáveis
contínuo, assumimos que as soluções da equação discreta acima são produtos da forma
ui,j = F (i) G (j) , (2.17)
onde F e G são funções de uma variável inteira. Substituindo esta expressão na equação de Helmholtz
discreta, obtemos
F (i − 1) G (j) − 2F (i) G (j) + F (i + 1) G (j)
∆x2 + F (i) G (j − 1) − 2F (i) G (j) + F (i) G (j + 1)
∆y2 = −λF (i) G (j) .