Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 47
(ou seja 3 × 5 = 15 pontos internos na malha e uma matriz 15 × 15), temos
A = 1
∆x2 ⎡
4
⎢ −1
⎢ 0
⎢ −1
⎢ 0
⎢ 0
⎢ 0
⎢ 0
⎢ 0
⎢ 0
⎢ 0
⎢ 0
⎢ 0
⎣ 0
−1
4
−1
0
−1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−1
4
0
0
−1
0
0
0
0
0
0
0
0
−1
0
0
4
−1
0
−1
0
0
0
0
0
0
0
0
−1
0
−1
4
−1
0
−1
0
0
0
0
0
0
0
0
−1
0
−1
4
0
0
−1
0
0
0
0
0
0
0
0
−1
0
0
4
−1
0
−1
0
0
0
0
0
0
0
0
−1
0
−1
4
−1
0
−1
0
0
0
0
0
0
0
0
−1
0
−1
4
0
0
−1
0
0
0
0
0
0
0
0
−1
0
0
4
−1
0
−1
0
0
0
0
0
0
0
0
−1
0
−1
4
−1
0
−1
0
0
0
0
0
0
0
0
−1
0
−1
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−1
0
0
4
−1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−1
0
−1
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−1
0
−1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 −1 4
Observe que a matriz A é uma matriz simétrica, pentadiagonal e esparsa.
2.2.2 Existência e Unicidade da Solução Discreta – Autovalores do Problema
Bidimensional
Denotaremos por ud a função u| Ωd , isto é, ud é a discretização da função u no domínio discretizado Ωd.
Vamos definir o operador laplaciano discreto obtido a partir da fórmula dos cinco pontos por
ui−1,j − 2ui,j + ui+1,j
−∆dud = −
∆x2 + ui,j−1 − 2ui,j + ui,j+1
∆y2
. (2.12)
de modo que a discretização do problema
−∆u = f em Ω,
u = 0 sobre ∂Ω,
é o problema −∆dud = fd em Ωd,
ud = 0 sobre ∂Ωd.
⎤
⎥
⎦
(2.13)
Para estabelecer a existência e unicidade da solução discreta, provaremos que a matriz de discretização A,
que é uma matriz simétrica, é também uma matriz positiva definida, pois isso implica em particular que A
é invertível.
Lembrando que as autofunções de Dirichlet do laplaciano no retângulo [0, a] × [0, b] são as funções
Ukl (x, y) = sen kπx
a
sen lπy
b ,
este fato sugere que os autovetores ukl da matriz A na ordem lexicográfica são os vetores de coordenadas
Ukl (x1, y1) , Ukl (x2, y1) , . . . , Ukl (xn−1, y1) ,
Ukl (x1, y2) , Ukl (x2, y2) , . . . , Ukl (xn−1, y2) ,
.
Ukl (x1, ym−1) , Ukl (x2, ym−1) , . . . , Ukl (xn−1, ym−1)