Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 44
porque
(n − 1) jπ
0 = sen jπ = sen
+
n
jπ
(n − 1) jπ
= sen cos
n
n
jπ (n − 1) jπ
+ cos sen
n n
jπ
n .
Os autovalores de A são positivos, portanto A é uma matriz positiva definida. Observe que, fixado j, se n é
arbitrariamente grande então
cos jπ
n ≈ 1 − j2π 2
,
2n2 pois o desenvolvimento em série de Taylor da função cosseno em torno da origem é
cos x = 1 − 1
2 x2 + O x 3 ;
tomando x = jπ/n para n suficientemente grande e desprezando os termos de terceira ordem, obtemos a
aproximação acima. Daí,
2
∆x 2
1 − cos jπ
n
= 2n2
a 2
1 − cos jπ
≈
n
2n2
a2
1 − 1 − j2π 2
2n2
= j2π 2
,
a2 de forma que os menores autovalores da matriz A são uma boa aproximação para os menores autovalores de
Dirichlet do laplaciano no intervalo [0, a]. Já o maior autovalor da matriz A é
λn−1 = 2
∆x2
(n − 1) π
1 − cos =
n
2n2
a2
(n − 1) π
1 − cos ≈
n
4n2
,
a2 que não é uma boa aproximação para um autovalor do laplaciano. Vemos que se aumentarmos o número de
pontos de discretização (malha mais refinada) obteremos melhores aproximações e uma quantidade maior de
autovalores próximos aos autovalores do laplaciano. Para comparar, veja a tabela a seguir para os autovalores
do laplaciano no intervalo [0, π]; na primeira coluna temos os autovalores exatos do laplaciano, enquanto que
na demais colunas os autovalores da matriz A, λj = 2n2
π2 número n de subintervalos na malha
1 − cos jπ
, com a linha superior indicando o
n
n = 11 n = 21 n = 31 n = 51 n = 101 n = 1001
1 0.993 221 21 0.998 136 38 0.999 144 44 0.999 683 82 0.999 919 37 0.999 999 18
4 3.892 419 95 3.970 248 82 3.986 325 21 3.994 943 16 3.998 710 15 3.999 986 87
9 8.462 720 39 8.849 945 24 8.930 889 79 8.974 415 97 8.993 471 18 8.999 933 51
16 14.333 863 96 15.528 221 28 15.782 100 25 15.919 213 41 15.979 370 36 15.999 789 87
25 21.030 205 54 23.855 895 28 24.469 653 89 24.802 991 47 24.949 649 29 24.999 486 99
36 28.009 247 34 33.646 940 78 34.904 404 68 35.592 050 94 35.895 629 79 35.998 936 22
49 34.705 588 92 44.682 641 99 46.979 277 93 48.245 465 23 48.806 722 35 48.998 029 23
64 40.576 732 50 56.716 479 58 60.570 369 11 62.715 235 6 63.670 436 30 63.996 637 97
81 45.147 032 93 69.479 637 52 75.538 215 24 78.946 473 26 80.472 391 97 80.994 614 71
100 48.046 231 68 82.687 007 94 91.729 225 95 96.877 607 56 99.196 334 56 99.991 792 02
2.2 O Caso Bidimensional
Nesta seção, desenvolveremos um método numérico de diferenças finitas para resolver o problema de Dirichlet
para a equação de Poisson no retângulo (0, a) × (0, b)
−∆u = f (x, y) em (0, a) × (0, b) ,
u = 0 sobre ∂ ((0, a) × (0, b)) ,
e para o problema de autovalor de Dirichlet para o laplaciano no retângulo
−∆u = λu em (0, a) × (0, b) ,
u = 0 sobre ∂ ((0, a) × (0, b)) .